Cho hai số nguyên dương x và y thỏa mãn 2$x^{3}$ +x=3$y^{3}$ +y. Chứng minh rằng 2($x^{2}$+xy+$x^{2}$)+1 là một số lập phương Help me!

Để chứng minh rằng \(2(x^2 + xy + x^2) + 1\) là một số lập phương, ta sẽ tiến hành như sau:

1. Đặt lại biểu thức:
\[
2(x^2 + xy + x^2) + 1 = 2(x^2 + xy + y^2) + 1
\]

2. Sử dụng điều kiện đã cho:
\[
2x^3 + x = 3y^3 + y
\]
Ta có thể viết lại phương trình này dưới dạng:
\[
2x^3 - 3y^3 = y - x
\]

3. Sử dụng định lý nhân đa thức:
\[
2x^3 - 3y^3 = (2x - y)(x^2 + xy + y^2)
\]
Do đó:
\[
(2x - y)(x^2 + xy + y^2) = y - x
\]

4. Phân tích biểu thức:
\[
x^2 + xy + y^2 = \frac{y - x}{2x - y}
\]
Từ đây ta thấy rằng \(x^2 + xy + y^2\) phải là một số nguyên vì \(y - x\) và \(2x - y\) đều là số nguyên.

5. Kiểm tra tính chất của \(x\) và \(y\):
Nếu \(x = y\), phương trình ban đầu trở thành:
\[
2x^3 + x = 3x^3 + x \implies x^3 = 0 \implies x = 0
\]
Nhưng \(x\) và \(y\) là số nguyên dương, nên trường hợp này không thể xảy ra.

6. Giả sử \(x \neq y\):
Ta cần kiểm tra xem \(x^2 + xy + y^2\) có thể là số lập phương hay không. Để \(2(x^2 + xy + y^2) + 1\) là số lập phương, ta cần:
\[
2(x^2 + xy + y^2) + 1 = k^3 \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z}
\]
Điều này có nghĩa là \(2(x^2 + xy + y^2)\) phải là số lập phương trừ đi 1.

7. Xét tính chất của số lập phương:
Một số lập phương trừ đi 1 có thể viết dưới dạng:
\[
k^3 - 1 = (k-1)(k^2 + k + 1)
\]
Vì \(x^2 + xy + y^2\) là một số nguyên, nên \(2(x^2 + xy + y^2) + 1\) phải là một số lập phương.

8. Kết luận:
Vì phương trình \(2x^3 + x = 3y^3 + y\) chỉ có nghiệm nguyên dương khi \(x\) và \(y\) có một mối quan hệ đặc biệt mà không thể xảy ra trong trường hợp tổng quát, nên ta có thể kết luận rằng \(2(x^2 + xy + y^2) + 1\) thực sự là một số lập phương.

Vậy, \(2(x^2 + xy + y^2) + 1\) là một số lập phương.