helpppppppppppppppppppppp

Để tìm giới hạn sau:

\[
\lim_{n \to \infty} \frac{3^n}{4^n - 1}
\]

Ta có thể bắt đầu bằng cách cải biến mẫu số:

1. Chia cả tử và mẫu cho \(4^n\):

\[
\lim_{n \to \infty} \frac{3^n}{4^n - 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3^n}{4^n}}{\frac{4^n - 1}{4^n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\left(\frac{3}{4}\right)^n}{1 - \frac{1}{4^n}}
\]

2. Bây giờ, quan sát từng phần:
- Tử số: \(\left(\frac{3}{4}\right)^n\) sẽ tiến tới 0 khi \(n\) tiến tới vô cực vì \(\frac{3}{4} < 1\).
- Mẫu số: \(1 - \frac{1}{4^n}\) sẽ tiến tới 1 khi \(n\) tiến tới vô cực, vì \(\frac{1}{4^n}\) cũng tiến tới 0.

3. Khi kết hợp cả hai phần lại, ta có:

\[
\lim_{n \to \infty} \frac{\left(\frac{3}{4}\right)^n}{1 - \frac{1}{4^n}} = \frac{0}{1} = 0
\]

Vậy, giới hạn là:

\[
\lim_{n \to \infty} \frac{3^n}{4^n - 1} = 0
\]

Nguyên nhân của việc khác biệt giữa tử và mẫu là do tốc độ tăng trưởng của hàm mũ: \(4^n\) tăng nhanh hơn \(3^n\) khi \(n\) tiến đến vô cực, dẫn đến tử số tiến tới 0, và cuối cùng giới hạn cũng bằng 0.