cho tam giác ABC nhọn,có đường trung tuyến AM.Trên AM lấy N bất kì ,MN cắt AC tại Q và cắt CN tại P.CM PQ//BC

Để chứng minh rằng PQ // BC trong tam giác ABC với các điểm N, M, P, Q như đã nêu, ta có thể sử dụng định lý về đường thẳng song song và tỷ lệ.

1. Gọi D là trung điểm của cạnh BC. Theo định nghĩa, AM là đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A đến trung điểm D của cạnh BC.

2. Ta biết rằng đường trung tuyến chia tam giác thành hai phần có diện tích bằng nhau. Do đó, khi lấy bất kỳ điểm N trên AM, chúng ta vẫn có thể khảo sát mối quan hệ giữa các đoạn thẳng.

3. Bây giờ, xem xét tam giác AMC và D được định nghĩa như trên. Theo định lý Tam giác đồng dạng: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với một cạnh, thì nó chia hai cạnh còn lại theo tỉ lệ bằng nhau.

4. Đường thẳng MN cắt AC tại điểm Q và cắt CN tại điểm P. Ta cần chứng minh rằng PQ // BC.

5. Từ điểm N trên AM, ta có AD = DC (vì D là trung điểm của BC).

6. Cùng với MN // BC, ta có:
- Tỉ lệ AN/AM = AD/AB
- Tỉ lệ CN/CP = DC/AC

7. Theo định lý tỉ lệ, hai đoạn PQ và BC có tỉ lệ giống nhau vì chúng đều được chia ra bởi các đoạn MN và AD.

8. Kết luận, ta có được PQ // BC theo định lý tương ứng về các đường thẳng song song và tỷ lệ trong tam giác.

Mọi bước trên đều cho thấy rằng PQ được xác định thông qua tỉ lệ của các đoạn mà nó cắt và do đó đường thẳng này song song với cạnh BC.