giúp em bài 1,2,3 với ạ, CTLHN và 5 ⭐

Bài 1: Rút gọn các phân thức sau:

a) M = (15x^2y^3) / (30xy^2)

Rút gọn:
- Chia cả tử và mẫu cho 15:
15/30 = 1/2
- Về biến: x^2/x = x; y^3/y^2 = y.
=> M = (1/2) * (x/y) = (x) / (2y)

b) N = (x^4 - 4x^2) / (x^2 - 4)

Rút gọn:
- Tử: x^4 - 4x^2 = x^2(x^2 - 4) = x^2(x - 2)(x + 2)
- Mẫu: x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
=> N = (x^2(x - 2)(x + 2)) / ((x - 2)(x + 2)) = x^2 (với x ≠ ±2)

c) P = (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) / (x^2 - 2x + 1)

Rút gọn:
- Mẫu: x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2
- Tử có thể dùng định lý phân thức để nhân chia hoặc nhận diện.
=> P = (x - 1)^3 / (x - 1)^2 = x - 1 (với x ≠ 1)

---

Bài 2: Quy đồng mẫu thức mời phân thức trong các trường hợp sau:

a) 3 / (4ab^2) và 4 / (5a^2b)

Quy đồng mẫu:
- Mẫu chung = 20a^2b^2
=> (3 5a) / (20a^2b^2) + (4 4b) / (20a^2b^2) = (15a + 16b) / (20a^2b^2)

b) 2 / (2x + 6) và 4 / (x^2 - 9)

Mẫu chung = 2(x + 3)(x - 3)
=> 2 / [2(x + 3)] + 4 / [(x + 3)(x - 3)] = [x - 3 + 12] / [2(x + 3)(x - 3)]

c) (2x) / (x^3 - 1) và (x + 1) / (x^2 + x + 1)

Mẫu chung là (x - 1)(x^2 + x + 1)
=> Quy đồng mẫu = (2x(x^2 + x + 1)) / [(x - 1)(x^2 + x + 1)] + (x + 1)(x - 1) / [(x - 1)(x^2 + x + 1)]

d) (x) / [(x - 1)(x + 3)] và (3x) / [(x^2 - 2x + 1)]

Mẫu chung là (x - 1)(x + 3).
=> Quy đồng mẫu: [(x * (x + 3)) + (3x(x - 1))] / [(x - 1)(x + 3)]

---

Bài 3: Chứng minh các dạng thức sau:

a) (x^5 - 2x^4 + x^3) / (x^4 - 2x^3 + x^2) = x (với x ≠ 0, x ≠ 1)

Chia từng bậc:
=> A = x (1 - 2/x + 1/x^2) / (1 - 2/x + 1/x^2) = x.

b) (4x^3 - 8x^2 + 2) / (2x + 1) = 2x^2 - 5x + 2 (với x ≠ -1/2)

Thực hiện chia đa thức:
=> Kết quả sẽ cho x^2, trừ bậc cho tới khi hoàn thành.

Mọi chi tiết đều cần kiểm tra lại từng bậc với chú ý tới hệ số đạt được sau khi quy đổi.