cho `3` số thực `x;y;z` tm `absx + absy + absz = 3` và `x + y + z = 1` tìm min và max `P = abs(x + y) + abs(y + z) + abs(z + x)`

Ta có hai điều kiện:

1. abs(x) + abs(y) + abs(z) = 3
2. x + y + z = 1

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức P = abs(x + y) + abs(y + z) + abs(z + x).

Đầu tiên, từ điều kiện 1, ta có thể suy luận rằng |x|, |y|, |z| ≤ 3. Khi tổng các giá trị tuyệt đối của x, y, z mà bằng 3, thì nếu có giá trị dương trong ba số trên, giá trị đó phải nhỏ hơn hoặc bằng 3.

Dựa vào điều kiện 2 (x + y + z = 1), ta có thể thay thế các biến để tìm mối liên hệ giữa chúng. Giả sử ta có các trường hợp cho x, y, z:

1. Trường hợp 1: Giả sử x, y, z đều dương.
Khi đó điều kiện thứ nhất sẽ không đạt, vì nếu tất cả đều dương thì tổng các số tuyệt đối sẽ lớn hơn 3.

2. Trường hợp 2: Giả sử hai trong số ba số này là âm và một số là dương.
Giả sử x = a (dương), y = -b (âm), z = -c (âm), với a, b, c ≥ 0 và a - b - c = 1.
Theo điều kiện thứ nhất, ta có: a + b + c = 3.

Từ đó, ta có thể viết b + c = 3 - a. Kết hợp với a - b - c = 1.
Giải hệ này ta có a, b, c.

3. Tính giá trị P:
P = abs(x + y) + abs(y + z) + abs(z + x) = abs(a - b) + abs(-b - c) + abs(-c + a)
Khi thử giá trị a = 3, b = 0, c = 0, tức là x = 3, y = 0, z = 0, ta có:
P = abs(3 + 0) + abs(0 + 0) + abs(0 + 3) = 3 + 0 + 3 = 6.

4. Kiểm tra các trường hợp khác:
- Giả sử x = 0, y = 0, z = 1, ta có:
P = abs(0 + 0) + abs(0 + 1) + abs(1 + 0) = 0 + 1 + 1 = 2.
Điểm này cho thấy có giá trị nhỏ hơn.

5. Xem xét các giá trị âm và các trường hợp khác với a, b, c cho ra kết quả lớn hơn 2 và nhỏ hơn 6. Tuy nhiên, các giá trị vượt qua đều đưa lại 6 hoặc 4.

Kết luận cho hai điều kiện trên là:
- Giá trị tối thiểu của P là 2.
- Giá trị tối đa của P là 6.

Do đó:
min P = 2 và max P = 6.