giải phương trình sau: $sqrt{3x^{2}}=x+2$

Để giải phương trình $ \sqrt{3x^{2}} = x + 2 $, ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Bình phương hai vế của phương trình để loại bỏ dấu căn. Ta có:

$$ (\sqrt{3x^{2}})^{2} = (x + 2)^{2} $$

Bước 2: Tính toán hai vế:

- Vế bên trái: $ \sqrt{3x^{2}} = |x|\sqrt{3} $ vì $ \sqrt{3x^{2}} = \sqrt{3} |x| $.
- Vế bên phải: $(x + 2)^{2} = x^{2} + 4x + 4$.

Vì vậy, phương trình trở thành:

$$ 3x^{2} = x^{2} + 4x + 4 $$

Bước 3: Đưa các hạng tử sang một phía để thu được một phương trình bậc hai:

$$ 3x^{2} - x^{2} - 4x - 4 = 0 $$

$$ 2x^{2} - 4x - 4 = 0 $$

Bước 4: Rút gọn phương trình:

$$ x^{2} - 2x - 2 = 0 $$

Bước 5: Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a} $$

Với $a = 1$, $b = -2$, $c = -2$. Tính toán:

- Tính delta: $b^{2} - 4ac = (-2)^{2} - 4(1)(-2) = 4 + 8 = 12$.
- Do đó:

$$ x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3} $$

Bước 6: Vậy chúng ta có hai nghiệm:

$$ x_1 = 1 + \sqrt{3}, \quad x_2 = 1 - \sqrt{3} $$

Bước 7: Kiểm tra các nghiệm với phương trình gốc để chắc chắn không có nghiệm thiếu do bình phương:

1. Kiểm tra $x_1 = 1 + \sqrt{3}$:

$$ \sqrt{3(1+\sqrt{3})^{2}} = \sqrt{3(1 + 2\sqrt{3} + 3)} = \sqrt{12 + 6\sqrt{3}} $$
$$ 1 + \sqrt{3} + 2 = 3 + \sqrt{3} $$

Cả hai vế đều bằng nhau, nghiệm này hợp lệ.

2. Kiểm tra $x_2 = 1 - \sqrt{3}$:

$$ \sqrt{3(1 - \sqrt{3})^{2}} = \sqrt{3(1 - 2\sqrt{3} + 3)} = \sqrt{12 - 6\sqrt{3}} $$
$$ 1 - \sqrt{3} + 2 = 3 - \sqrt{3} $$

Cả hai vế đều bằng nhau, nghiệm này cũng hợp lệ.

Vậy nghiệm cuối cùng của phương trình là:

$$ x = 1 + \sqrt{3} \quad \text{và} \quad x = 1 - \sqrt{3} $$