cho hình bình hành ABCD, AC cắt BD tại O gọi M và N lần lượt là trung điểm của OD, OB, AM cắt DC tại E, CN cắt AB tại F                    a) Tứ giác AMCN là hình bình hành

a) Để chứng minh tứ giác AMCN là hình bình hành, ta cần chỉ ra rằng hai cặp cạnh đối diện của tứ giác này song song và bằng nhau.

- Bởi vì O là điểm giao nhau của hai đường chéo AC và BD trong hình bình hành ABCD, nên ta có: AO = OC và BO = OD.
- M là trung điểm của OD nên OM = MD; N là trung điểm của OB nên ON = NB.
- Ta có thể xét hai tam giác OMD và ONB. Hai tam giác này có: OM = MD và ON = NB (theo định nghĩa trung điểm) và cạnh AO = OC (do đặc điểm của hình bình hành). Bởi vậy, chúng ta có OM/ON = MD/OB, suy ra AM // CN và AN // MC. Do đó, AMCN là hình bình hành.

b) Để chứng minh tứ giác AECF là hình bình hành, ta cũng cần xem xét tính song song và độ dài của các cạnh.

- Lưu ý rằng E là giao điểm của AM và DC, và F là giao điểm của CN và AB.
- Do AM // CN, vì AMCN là hình bình hành, nên AE // CF và EC // AF (theo tính chất giao của hình bình hành).
- Bởi vì hai cặp cạnh AE và CF, EC và AF đều song song và bằng nhau, tứ giác AECF cũng là hình bình hành.

c) Để chứng minh AC, BD, EF đồng quy, ta cần chứng minh rằng ba đường thẳng này gặp nhau tại một điểm duy nhất.

- Ta biết rằng O là giao điểm của AC và BD theo định nghĩa hình bình hành.
- Trong tứ giác AMCN, sẽ có quản lý hợp lý là EF sẽ cắt AC và BD tại cùng một điểm O, bởi vì AM // CN dẫn đến EF sẽ cắt AC và BD tại O.
- Do đó, AC, BD và EF đồng quy tại O.

Tóm lại:
a) Tứ giác AMCN là hình bình hành vì hai cặp cạnh đối là song song và bằng nhau.
b) Tứ giác AECF là hình bình hành vì tương tự như trên, với các cặp cạnh cạnh song song.
c) Ba đường thẳng AC, BD và EF đồng quy tại điểm O.