cưuuuuuuu Q= ( 1/cănx-1 + 1/x- căn x) : ( 1/cănx+1 / x-1)  rút gọn Q  tính giá trị của Q khi x=7 -4 căn 3

Để giải quyết bài toán này, ta sẽ thực hiện các bước sau:

### Rút gọn biểu thức Q:

Biểu thức cần rút gọn là:
\[ Q = \frac{\frac{1}{\sqrt{x}-1} + \frac{1}{x - \sqrt{x}}}{\frac{1}{\sqrt{x}+1} \cdot (x-1)} \]

#### Bước 1: Đơn giản hóa tử số

Tử số của Q là:
\[ \frac{1}{\sqrt{x}-1} + \frac{1}{x - \sqrt{x}} \]

Ta có thể đưa về cùng mẫu số chung:
\[ \frac{(x - \sqrt{x}) + (\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x}-1)(x - \sqrt{x})} \]

= \[ \frac{x - 1}{(\sqrt{x}-1)(x - \sqrt{x})} \]

#### Bước 2: Đơn giản hóa mẫu số

Mẫu số của Q là:
\[ \frac{1}{\sqrt{x}+1} \cdot (x-1) = \frac{x-1}{\sqrt{x}+1} \]

#### Bước 3: Kết hợp tử số và mẫu số

Bây giờ ta có:
\[ Q = \frac{\frac{x - 1}{(\sqrt{x}-1)(x - \sqrt{x})}}{\frac{x-1}{\sqrt{x}+1}} \]

Gọi \( x = t^2 \), ta có:
\[ \sqrt{x} = t \]
\[ x - \sqrt{x} = t^2 - t = t(t-1) \]
\[ \sqrt{x} - 1 = t - 1 \]

Do đó, biểu thức trở thành:
\[ Q = \frac{\frac{t^2 - 1}{(t-1)(t(t-1))}}{\frac{t^2 - 1}{t+1}} \]

Đơn giản hóa:
\[ Q = \frac{t+1}{t} \]

### Tính giá trị của Q khi \( x = 7 - 4\sqrt{3} \)

Với \( x = 7 - 4\sqrt{3} \), ta có:
\[ \sqrt{x} = \sqrt{7 - 4\sqrt{3}} \]

Sử dụng phép nhân giả:
\[ ( \sqrt{7 - 4\sqrt{3}} )^2 = 7 - 4\sqrt{3} \]

Giả sử \( \sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = a - b\sqrt{3} \), ta có:
\[ (a - b\sqrt{3})^2 = a^2 - 3b^2 - 2ab\sqrt{3} = 7 - 4\sqrt{3} \]

So sánh các hệ số:
\[ a^2 - 3b^2 = 7 \]
\[ -2ab = -4 \Rightarrow ab = 2 \]

Giải hệ phương trình này, ta có:
\[ a = 2, b = 1 \]

Do đó, \( \sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3} \)

Và:
\[ Q = \frac{(2 - \sqrt{3}) + 1}{2 - \sqrt{3}} = \frac{3 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} \]

Nhân tử số và mẫu số với \( 2 + \sqrt{3} \):
\[ Q = \frac{(3 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{6 + 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} - 3}{4 - 3} = \frac{3 + \sqrt{3}}{1} = 3 + \sqrt{3} \]

Vậy giá trị của Q khi \( x = 7 - 4\sqrt{3} \) là \( 3 + \sqrt{3} \).