Giải hộ em câu này với ạ

Để tìm các khoán điểm cực trị của hàm số \( y = x \sqrt{4 - x^2} \), trước tiên ta cần tính đạo hàm của hàm số này và tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0.

1. Tính đạo hàm:

Dùng quy tắc sản phẩm và quy tắc chuỗi, ta có:
\[
y = x \cdot (4 - x^2)^{1/2}
\]
Đạo hàm của \(y\) theo \(x\) là:

\[
y' = (4 - x^2)^{1/2} + x \cdot \frac{1}{2}(4 - x^2)^{-1/2} \cdot (-2x)
\]
\[
= (4 - x^2)^{1/2} - \frac{x^2}{(4 - x^2)^{1/2}}
\]
\[
= \frac{(4 - x^2) - x^2}{(4 - x^2)^{1/2}} = \frac{4 - 2x^2}{(4 - x^2)^{1/2}}
\]

2. Giải phương trình đạo hàm bằng 0:

Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình:
\[
\frac{4 - 2x^2}{(4 - x^2)^{1/2}} = 0
\]
Lúc này, tử số phải bằng 0:
\[
4 - 2x^2 = 0 \implies 2x^2 = 4 \implies x^2 = 2 \implies x = \pm \sqrt{2}
\]

Vì hàm đã định nghĩa trong khoảng \(x \in [-2, 2]\), ta chỉ quan tâm đến \(x = \sqrt{2}\) và \(x = -\sqrt{2}\).

3. Tìm giá trị của hàm tại các điểm này:

Tính giá trị của hàm tại các điểm cực trị:
- Với \(x = \sqrt{2}\):
\[
y = \sqrt{2} \sqrt{4 - 2} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2
\]
- Với \(x = -\sqrt{2}\):
\[
y = -\sqrt{2} \sqrt{4 - 2} = -\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = -2
\]

4. Lập bảng biến thiên:

Ta có các điểm để kiểm tra dấu của đạo hàm:
- Khi \(x < -\sqrt{2}\), \(y' > 0\)
- Khi \(-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}\), \(y' < 0\)
- Khi \(x > \sqrt{2}\), \(y' > 0\)

Từ đó có thể kết luận rằng:
- Tại \(x = -\sqrt{2}\) là điểm cực đại với giá trị \(y = -2\).
- Tại \(x = \sqrt{2}\) là điểm cực tiểu với giá trị \(y = 2\).

5. Kết luận:
Hàm số \(y = x \sqrt{4 - x^2}\) có các điểm cực trị tại:
- \(x = -\sqrt{2}\), \(y = -2\) (cực đại)
- \(x = \sqrt{2}\), \(y = 2\) (cực tiểu)