cho tam giác ABC có M,N,P lần lượt là trung điểm của BC,AC và AB. hãy chứng minh

Để giải bài toán này, ta có thể sử dụng định lý trung điểm và phân tích vector.

a) Chứng minh rằng \( BM + CN + AP = 0 \).

1. Gọi \( A, B, C \) là các điểm trong không gian với tọa độ vector tương ứng là \( \vec{A}, \vec{B}, \vec{C} \).
2. Đặt \( M, N, P \) là các trung điểm:
- \( M = \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2} \)
- \( N = \frac{\vec{C} + \vec{A}}{2} \)
- \( P = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} \)

3. Tính các vector:
- \( \vec{BM} = \vec{M} - \vec{B} = \left(\frac{\vec{B} + \vec{C}}{2} - \vec{B}\right) = \frac{\vec{C} - \vec{B}}{2} \)
- \( \vec{CN} = \vec{N} - \vec{C} = \left(\frac{\vec{C} + \vec{A}}{2} - \vec{C}\right) = \frac{\vec{A} - \vec{C}}{2} \)
- \( \vec{AP} = \vec{P} - \vec{A} = \left(\frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} - \vec{A}\right) = \frac{\vec{B} - \vec{A}}{2} \)

4. Cộng các vector này lại:
- \( \vec{BM} + \vec{CN} + \vec{AP} = \frac{\vec{C} - \vec{B}}{2} + \frac{\vec{A} - \vec{C}}{2} + \frac{\vec{B} - \vec{A}}{2} \)

5. Khi cộng lại, ta có:
- \( \vec{BM} + \vec{CN} + \vec{AP} = \frac{(\vec{C} - \vec{B}) + (\vec{A} - \vec{C}) + (\vec{B} - \vec{A})}{2} = \frac{0}{2} = 0 \)

Vậy \( BM + CN + AP = 0 \).

b) Chứng minh rằng \( AP + AN - AC + BM = 0 \).

1. Tương tự như trên, ta đã có:
- \( \vec{AP} = \frac{\vec{B} - \vec{A}}{2} \)
- \( \vec{AN} = \vec{N} - \vec{A} = \left(\frac{\vec{C} + \vec{A}}{2} - \vec{A}\right) = \frac{\vec{C} - \vec{A}}{2} \)
- \( \vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} \)
- \( \vec{BM} = \frac{\vec{C} - \vec{B}}{2} \)

2. Thay các giá trị vào biểu thức:
- \( \vec{AP} + \vec{AN} - \vec{AC} + \vec{BM} = \frac{\vec{B} - \vec{A}}{2} + \frac{\vec{C} - \vec{A}}{2} - (\vec{C} - \vec{A}) + \frac{\vec{C} - \vec{B}}{2} \)

3. Cộng các vector lại:
- Ta có thể nhóm lại và rút gọn:
- \( \frac{\vec{B} - \vec{A}}{2} + \frac{\vec{C} - \vec{A}}{2} + \frac{\vec{C} - \vec{B}}{2} - \vec{C} + \vec{A} = 0 \)

Do đó, ta có \( AP + AN - AC + BM = 0 \).

c) Chứng minh rằng \( OA + OB + OC = OM + ON + OP \) với \( O \) là điểm bất kỳ.

1. Xét các vector:
- Ta có các vector từ điểm \( O \) đến các điểm \( A, B, C, M, N, P \).

2. Ta nhận thấy rằng:
- \( \vec{OM} = \frac{\vec{OB} + \vec{OC}}{2} \)
- \( \vec{ON} = \frac{\vec{OC} + \vec{OA}}{2} \)
- \( \vec{OP} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2} \)

3. Cộng các vector này lại:
- Ta có \( \vec{OM} + \vec{ON} + \vec{OP} = \frac{\vec{OB} + \vec{OC}}{2} + \frac{\vec{OC} + \vec{OA}}{2} + \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2} \)
- Khi rút gọn, ta sẽ thấy \( OA + OB + OC \) và \( OM + ON + OP \) sẽ tương đương nhau.

Kết luận, ta đã chứng minh xong toàn bộ yêu cầu của bài toán.