Giúp e bài 6 với ạ cám ơn ạ

Để chứng minh rằng \( A < \frac{1}{4} \), ta xét biểu thức sau:

\[
A = \frac{1}{5} + \frac{1}{5^2} + \frac{1}{5^3} + \ldots + \frac{1}{5^{2023}}
\]

Đây là một cấp số nhân với công bội \( q = \frac{1}{5} \). Tổng của một cấp số nhân có thể tính bằng công thức:

\[
S_n = \frac{a(1 - q^n)}{1 - q}
\]

Trong đó \( a \) là số hạng đầu tiên, \( q \) là công bội, và \( n \) là số hạng cần tính.

Áp dụng vào bài toán, ta có:

- \( a = \frac{1}{5} \)
- \( q = \frac{1}{5} \)
- \( n = 2023 \)

Thay vào công thức, ta có:

\[
A = \frac{\frac{1}{5}(1 - \left(\frac{1}{5}\right)^{2023})}{1 - \frac{1}{5}}
= \frac{\frac{1}{5}(1 - \frac{1}{5^{2023}})}{\frac{4}{5}}
= \frac{1}{4} (1 - \frac{1}{5^{2023}})
\]

Bây giờ, ta sẽ thấy rằng:

\[
1 - \frac{1}{5^{2023}} < 1
\]

do đó:

\[
A < \frac{1}{4} (1) = \frac{1}{4}
\]

Vậy chúng ta đã chứng minh được rằng \( A < \frac{1}{4} \).