$sqrt[]{49 - 12sqrt[]{5}}$ -$sqrt[]{49+12sqrt[]{5}}$

Để giải biểu thức $\sqrt[]{49 - 12\sqrt[]{5}} - \sqrt[]{49 + 12\sqrt[]{5}}$, ta sẽ xem xét từng căn bậc hai một.

Đầu tiên, ta cần tính $\sqrt{49 - 12\sqrt{5}}$. Để giải phương trình này, ta giả sử có thể viết nó dưới dạng $\sqrt{a} - \sqrt{b}$, với $a + b = 49$ và $ab = (\frac{12\sqrt{5}}{2})^2 = 180$.

Giải hệ phương trình:
1. $a + b = 49$
2. $ab = 180$

Ta gọi $b = 49 - a$. Thay vào phương trình thứ hai:
$a(49 - a) = 180$
=> $49a - a^2 = 180$
=> $a^2 - 49a + 180 = 0$.

Giải phương trình bậc hai bằng công thức:
$a = \frac{49 \pm \sqrt{49^2 - 4\cdot180}}{2} = \frac{49 \pm \sqrt{2401 - 720}}{2} = \frac{49 \pm \sqrt{1681}}{2} = \frac{49 \pm 41}{2}$.

Vậy ta có hai nghiệm:
$a_1 = \frac{90}{2} = 45$ và $a_2 = \frac{8}{2} = 4$.

Do đó, ta có $a = 45$, $b = 4$ hoặc ngược lại. Vậy:
$$\sqrt{49 - 12\sqrt{5}} = \sqrt{45} - \sqrt{4} = 3\sqrt{5} - 2.$$

Tiếp theo, ta tính $\sqrt{49 + 12\sqrt{5}}$. Tương tự, ta cũng viết nó dưới dạng $\sqrt{c} + \sqrt{d}$ với $c + d = 49$ và $cd = 180$.

Ta cũng có:
1. $c + d = 49$
2. $cd = 180$

Đặt $d = 49 - c$, thay vào phương trình thứ hai:
$c(49 - c) = 180 \implies c^2 - 49c + 180 = 0$.

Giải phương trình bậc hai này:
$$c = \frac{49 \pm \sqrt{49^2 - 4 \cdot 180}}{2} = \frac{49 \pm \sqrt{1681}}{2} = \frac{49 \pm 41}{2}.$$

Lặp lại ta cũng có nghiệm $c_1 = 45$ và $c_2 = 4$, vì vậy:
$$\sqrt{49 + 12\sqrt{5}} = \sqrt{45} + \sqrt{4} = 3\sqrt{5} + 2.$$

Giờ ta thay thế vào biểu thức ban đầu:
$$\sqrt[]{49 - 12\sqrt[]{5}} - \sqrt[]{49 + 12\sqrt[]{5}} = (3\sqrt{5} - 2) - (3\sqrt{5} + 2) = 3\sqrt{5} - 2 - 3\sqrt{5} - 2 = -4.$$

Kết quả cuối cùng là:
-4.