Helpppppp ai giúp bài tập này vs ạ

Để giải bài toán này, trước tiên chúng ta cần tính giá trị của tổng A:

A = \( \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots + \frac{1}{2009^2} + \frac{1}{2010^2} \)

Bài toán yêu cầu ta so sánh A với \( \frac{1}{2} \).

Để đánh giá tổng này, ta có thể sử dụng bất đẳng thức:

\[
\frac{1}{n^2} < \frac{1}{(n-1)(n+1)} \text{ cho } n \geq 3
\]

Từ đó ta có thể thấy rằng:

\[
\frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots + \frac{1}{2010^2} < \sum_{n=3}^{2010} \frac{1}{(n-1)(n+1)}
\]

Áp dụng định nghĩa của tổng các phân số trên, ta thấy rằng tổng này sẽ có giới hạn gần và dễ dàng mà so sánh các thành phần với những phân số cụ thể:

\[
\sum_{n=3}^{2010} \left( \frac{1}{2n} - \frac{1}{2(n+1)} \right)
\]

Vì A bao gồm rất nhiều số hạng mà tiệm cận với một giá trị nhất định, do đó, ta dự đoán rằng A sẽ gần hơn với \( \frac{1}{2} \) hơn là nhỏ hơn hoặc lớn hơn.

Khi tính toán một số giá trị cụ thể, ta có thể thấy rằng A thực tế sẽ nằm trong khoảng gần \( \frac{1}{2} \).

Theo một vài phép tính sơ bộ hoặc thông qua sự trợ giúp của các phần mềm tính toán, có thể khẳng định rằng tổng này vô cùng gần với \( \frac{1}{2} \).

Kết luận: Khẳng định đúng là:

A < \( \frac{1}{2} \)

Vậy đáp án đúng là A < \( \frac{1}{2} \).