Tìm giá trị nhỏ nhất | 3x - 5 | + | x - 2 | + | 3x - 7 |

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức |3x - 5| + |x - 2| + |3x - 7|, ta cần phân tích các phần tử trong biểu thức này để xác định các điểm mà các giá trị tuyệt đối thay đổi.

Có ba biểu thức giá trị tuyệt đối:
1. |3x - 5|, thay đổi tại x = 5/3
2. |x - 2|, thay đổi tại x = 2
3. |3x - 7|, thay đổi tại x = 7/3

Ta có các điểm quan trọng là 5/3, 2 và 7/3. Ta cần xét các khoảng giữa các điểm này:

1. Khoảng (-∞, 5/3):
- 3x - 5 < 0 → |3x - 5| = -(3x - 5) = -3x + 5
- x - 2 < 0 → |x - 2| = -(x - 2) = -x + 2
- 3x - 7 < 0 → |3x - 7| = -(3x - 7) = -3x + 7
- Biểu thức trở thành:
- (-3x + 5) + (-x + 2) + (-3x + 7) = -7x + 14

2. Khoảng (5/3, 2):
- 3x - 5 ≥ 0 → |3x - 5| = 3x - 5
- x - 2 < 0 → |x - 2| = -x + 2
- 3x - 7 < 0 → |3x - 7| = -3x + 7
- Biểu thức trở thành:
- (3x - 5) + (-x + 2) + (-3x + 7) = -x + 4

3. Khoảng (2, 7/3):
- 3x - 5 ≥ 0 → |3x - 5| = 3x - 5
- x - 2 ≥ 0 → |x - 2| = x - 2
- 3x - 7 < 0 → |3x - 7| = -3x + 7
- Biểu thức trở thành:
- (3x - 5) + (x - 2) + (-3x + 7) = x

4. Khoảng (7/3, +∞):
- 3x - 5 ≥ 0 → |3x - 5| = 3x - 5
- x - 2 ≥ 0 → |x - 2| = x - 2
- 3x - 7 ≥ 0 → |3x - 7| = 3x - 7
- Biểu thức trở thành:
- (3x - 5) + (x - 2) + (3x - 7) = 7x - 14

Giờ ta có các biểu thức cho từng khoảng. Tiếp theo là tìm giá trị ở các điểm biên và so sánh chúng:

1. Ở x = 5/3: -7(5/3) + 14 = -35/3 + 14 = -35/3 + 42/3 = 7/3
2. Ở x = 2: -x + 4 = -2 + 4 = 2
3. Ở x = 7/3: x = 7/3

So sánh:
- 7/3 ≈ 2.33
- 2
- 7/3 ≈ 2.33

Giá trị nhỏ nhất trong các giá trị đó là 2 (ngày tại x = 2).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức |3x - 5| + |x - 2| + |3x - 7| là 2.