Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi E, G, H lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. a) Chứng minh tứ giác EGCB là hình thang cân. b) Lấy K sao cho G là trung điểm của HK, chứng minh tứ giác AHCK là hình

a) Để chứng minh tứ giác EGCB là hình thang cân, ta sẽ bắt đầu từ việc phân tích các điểm E, G, H. Tam giác ABC là tam giác cân tại A, suy ra AB = AC. Do E là trung điểm của AB và G là trung điểm của AC, nên ta có:

- AE = EB = 1/2 AB
- AG = GC = 1/2 AC

Bây giờ, ta cần chứng minh hai cạnh EG và BC song song và có chiều dài bằng nhau. Xét độ dài các đoạn thẳng:

- EG = 1/2(AB + AC) = 1/2(AB + AB) = AB (vì AB = AC)
- BC = AB (do tam giác ABC là tam giác cân)

Vì EG || BC và EG = BC, tức là tứ giác EGCB có hai cạnh đối song song và bằng nhau, nên EGCB là hình thang cân.

b) Để chứng minh tứ giác AHCK là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng các cạnh đối song song và bằng nhau, đồng thời các góc của nó bằng 90 độ.

- Theo giả thiết, G là trung điểm của HK, vậy HG = GK.
- Vì AH là đường trung bình của tam giác ABC, nên AH || BC.
- Mặt khác, AE = EB = AG = GC, và từ đó việc H là trung điểm của AC và G là trung điểm của HK tạo ra mối liên hệ giữa các cạnh.

Trong tam giác ABC cân, góc A là góc đối diện với cạnh BC, khiến HB và HC bằng nhau. Khi đó, ta có:

- AH || BC
- HG || AC (dịch chuyển theo đường chéo)

Vì vậy, tứ giác AHCK có các cạnh đối song song và bằng nhau, đồng thời angle AHG = 90°, angle KGC = 90°.

c) Để tứ giác AHCK là hình vuông, tam giác ABC cần có thêm điều kiện là góc A phải bằng 90 độ. Khi góc A là 90 độ, tức là tam giác ABC trở thành tam giác vuông tại A, và từ các tính chất trên, tất cả các cạnh của tứ giác AHCK sẽ bằng nhau và góc bốn góc đều là 90 độ. Vì vậy, không những AHCK sẽ là hình chữ nhật mà còn trở thành hình vuông.