CHO HÌNH BÌNH HÀNH ABCD . GỌI E,F LẦN LƯỢT LÀ TRUNG ĐIỂM CỦA AD VÀ BC , ĐƯỜNG CHÉO AC CẮT BE VÀ DF TẠI P , Q  a) CHỨNG MINH AB = PQ = QC b) LẤY M BẤT KÌ THUỘC BC , GỌI I, K SAO CHO E LÀ

a) Để chứng minh AB = PQ = QC trong hình bình hành ABCD, ta cần sử dụng một số tính chất của hình bình hành và trung điểm.

1. Vì E và F lần lượt là trung điểm của AD và BC, ta có:
- AE = ED (do E là trung điểm)
- BF = FC (do F là trung điểm)

2. Do AC là đường chéo của hình bình hành nên:
- AC cắt BD tại giao điểm O, trong đó O là trung điểm của cả AC và BD.

3. Từ tính chất hình bình hành, ta có:
- AB // CD và AD // BC.

4. Vì EP và FQ lần lượt là các đoạn thẳng nối trung điểm với loại đường chéo, nên theo lý thuyết đoạn thẳng nối trung điểm:
- PQ // AB và PQ // CD.

5. Tiếp theo, từ tính chất của hình bình hành, chúng ta có:
- AB = CD và AD = BC.

Do đó, từ các tính chất trên và việc PQ cắt 2 đoạn thẳng song song, ta suy ra rằng AB = PQ = QC.

b) Để chứng minh I, K, A, B thẳng hàng, ta có thể áp dụng các yếu tố tương tự như ở trên.

1. Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc BC, và do E là trung điểm của MF thì ta cũng cần có:
- MF = 2 * ME.

2. Tương tự, do F là trung điểm của MK, ta có:
- MK = 2 MF = 4 ME.

3. Bây giờ, điểm I được lựa chọn sao cho nó thuộc đường thẳng ME, nên với M là điểm bất kỳ và các đoạn thẳng kéo dài từ E tới ME và từ E tới MF sẽ tạo thành một đường thẳng.

4. Ta có:
- Khi đó, I sẽ nằm cùng trên đường thẳng này với A và B vì AB // CD.

Như vậy, ta đã chứng minh rằng I, K, A, B thẳng hàng theo tính chất trường hợp và tính chất được sử dụng khi có các đoạn thẳng là đường thẳng và điểm trung bình của đoạn thẳng.

Chúng ta không cần thêm điểm E ở đây, vì I và E đủ để chứng minh các phần còn lại. Việc sử dụng các tính chất của hình bình hành giúp cho việc chứng minh trở nên dễ dàng hơn.