CMR : n-5/n-2 là phân số tối giản

Để xác định xem phân số n-5/n-2 có phải là phân số tối giản hay không, chúng ta cần kiểm tra xem tử số (n-5) và mẫu số (n-2) có ước chung nào khác 1 hay không. Nếu chúng có ước chung lớn hơn 1, thì phân số đó không phải là tối giản. Ngược lại, nếu ước chung lớn nhất của tử và mẫu là 1, thì phân số đó được coi là tối giản.

Tử số: n-5
Mẫu số: n-2

Bước đầu tiên là tìm ước chung lớn nhất (UCLN) của hai biểu thức này. Chúng ta có thể sử dụng thuật toán Euclide để làm điều đó, nhưng trước tiên cùng phân tích hai biểu thức này:

1. Xem như n-5 = n-2 - 3. Điều này có nghĩa là tử số chỉ có trường hợp là 0 khi n = 5.
2. Mẫu số n-2 không bằng 0 khi n khác 2.

Bây giờ, để xác định UCLN của hai biểu thức này, chúng ta đặt n-5 = k(n-2) với k là một số nguyên. Nếu có ước chung, thì sẽ tồn tại giá trị n sao cho k(n-2) = n-5.

Từ phương trình trên, ta có:
n - 5 = kn - 2k
=> n - kn = 5 - 2k
=> n(1 - k) = 5 - 2k
=> n = (5 - 2k)/(1 - k) nếu 1 - k không bằng 0.

Từ đây, ta thấy rằng không có giá trị n nào để k làm cho 1 - k = 0 có cùng ước chung với n-5 và n-2 ngoại trừ những giá trị n cụ thể mà không thoả mãn cho cả hai biểu thức có giá trị giống nhau cho ước chung.

Vì n-5 và n-2 không có ước chung nào lớn hơn 1, nên phân số n-5/n-2 là phân số tối giản.