Tìm x nguyên để `(-2x)/(x-5)` có giá trị nguyên

Để tìm các giá trị nguyên của x sao cho biểu thức \((-2x)/(x-5)\) có giá trị nguyên, ta sẽ làm như sau:

1. Đầu tiên, biểu thức đã cho là \((-2x)/(x - 5)\). Để biểu thức này có giá trị nguyên, mẫu số không được bằng 0 và phải chia hết cho mẫu số.

2. Cần chú ý rằng \(x - 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 5\).

3. Ta chỉ ra rằng để \((-2x)/(x - 5)\) là số nguyên, thì tử số \(-2x\) phải chia hết cho mẫu số \(x - 5\). Điều này có thể diễn ra nếu tồn tại một số nguyên k sao cho:
\[
-2x = k(x - 5)
\]
Dễ dàng giải phương trình này sẽ cho phép tìm các giá trị của x.

4. Phát triển ra:
\[
-2x = kx - 5k
\]
Sắp xếp lại:
\[
(k + 2)x = 5k
\]
Do đó:
\[
x = \frac{5k}{k + 2}
\]

5. Để x là số nguyên, \(5k\) phải chia hết cho \(k + 2\). Ta sẽ xem \(k + 2\) phải là ước của \(5k\).

6. Giả sử k + 2 = d là ước của \(5k\):
Thay vào đó ta có:
\[
5k \equiv 0 \mod d \Rightarrow k \equiv (-2)(-5) \mod d \Rightarrow 5 \equiv -2k \mod d
\]
Dễ dàng kiểm tra với các giá trị nguyên của k, từ đó ta có thể tìm d.

7. Mô phỏng với một số giá trị của k:
- Với k = -2: \(x = \frac{5(-2)}{-2 + 2}\) (0 mẫu không hợp lệ)
- Với k = 0: \(x = 0\) => \((-2*0)/(0-5) = 0\) (nguyên)
- Với k = 1: \(x = \frac{5(1)}{1 + 2} = \frac{5}{3}\) (không nguyên)
- Với k = 2: \(x = \frac{5(2)}{2 + 2} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}\) (không nguyên)
- Với k = 3: \(x = \frac{5(3)}{3 + 2} = 3\) => \((-2*3)/(3-5) = 3\) (nguyên)
- Với k = 4: \(x = \frac{5(4)}{4 + 2} = \frac{20}{6}\) (không nguyên)
- Với k = 5: \(x = \frac{5(5)}{5 + 2} = \frac{25}{7}\) (không nguyên)
- Với k = -3: \(x = \frac{5(-3)}{-3 + 2} = 15\) => \((-2*15)/(15-5) = -3\) (nguyên)
- Tiếp tục với các số khác.

Kết quả từ các phép thử là các giá trị nguyên của x mà thỏa mãn là \(x = 0, 3, 6, 15\) (khi k thay đổi qua các giá trị nguyên sẽ cho nhiều trường hợp khác).

Tóm lại, các giá trị nguyên là \(x = 0, 3, 15, ...\) mà qua các kết quả này, có thể thấy biểu thức luôn giữ nguyên tính chất nguyên.