Cho 2x=a+b+c.Chứng minh r: (x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=ab+bc+ca-x^2 helpppppppppppppppppppppp cần gấp

Để chứng minh đẳng thức (x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=ab+bc+ca-x^2 với giả thiết 2x=a+b+c, ta sẽ giải từng phần trong cả hai vế của đẳng thức.

1. Bên trái:

Tính toán từng phần trong biểu thức bên trái:

- (x - a)(x - b) = x^2 - (a + b)x + ab
- (x - b)(x - c) = x^2 - (b + c)x + bc
- (x - c)(x - a) = x^2 - (c + a)x + ca

Bây giờ cộng tất cả lại:

\[
(x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a) = (x^2 - (a + b)x + ab) + (x^2 - (b + c)x + bc) + (x^2 - (c + a)x + ca)
\]

Gom nhóm các hạng tử tương tự lại:

\[
= 3x^2 - ((a + b) + (b + c) + (c + a))x + (ab + bc + ca)
\]

Tính tổng các hệ số:

\[
= 3x^2 - (2a + 2b + 2c)x + (ab + bc + ca)
\]

Vì 2x = a + b + c nên 2a + 2b + 2c = 4x.

Thay vào:

\[
= 3x^2 - 4xx + (ab + bc + ca) = 3x^2 - 4x^2 + (ab + bc + ca) = -x^2 + (ab + bc + ca)
\]

Do đó,

\[
(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a) = ab + bc + ca - x^2
\]

2. Bên phải:

Bên phải của đẳng thức là ab + bc + ca - x^2, và ta đã chứng minh được từ bên trái rằng:

\[
(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a) = ab + bc + ca - x^2
\]

Vì cả hai bên đều bằng nhau nên ta đã chứng minh được đẳng thức này.

Vậy nên kết quả của bài toán là:

\[
(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=ab+bc+ca-x^2
\]

Đẳng thức được chứng minh là đúng.