giúp tôi bài này với

Để giải bài toán này, ta cần xác định giá trị của biểu thức đạo hàm của hàm số đã cho.

Hàm số là:
$$ f(x) = \frac{3x^2 + 2x + 1}{2x^2 + 3x + 1} $$

Để tính đạo hàm của hàm số này, ta sẽ sử dụng quy tắc chia đạo hàm (Quy tắc thương). Quy tắc này nói rằng nếu ta có hàm số dưới dạng \( \frac{u(x)}{v(x)} \), thì đạo hàm của nó là:

$$ \left( \frac{u(x)}{v(x)} \right)' = \frac{u'(x) v(x) - u(x) v'(x)}{(v(x))^2} $$

Trong đó:
- \( u(x) = 3x^2 + 2x + 1 \)
- \( v(x) = 2x^2 + 3x + 1 \)

Bước 1: Tính đạo hàm của \( u(x) \) và \( v(x) \):

- Đạo hàm của \( u(x) \):
$$ u'(x) = \frac{d}{dx} (3x^2 + 2x + 1) = 6x + 2 $$

- Đạo hàm của \( v(x) \):
$$ v'(x) = \frac{d}{dx} (2x^2 + 3x + 1) = 4x + 3 $$

Bước 2: Áp dụng quy tắc thương vào đạo hàm:

$$ f'(x) = \frac{(6x + 2)(2x^2 + 3x + 1) - (3x^2 + 2x + 1)(4x + 3)}{(2x^2 + 3x + 1)^2} $$

Bước 3: Mở rộng và đơn giản biểu thức tử số:

1. Tính tích \( (6x + 2)(2x^2 + 3x + 1) \):
$$ (6x + 2)(2x^2 + 3x + 1) = 12x^3 + 18x^2 + 6x + 4x^2 + 6x + 2 $$
$$ = 12x^3 + 22x^2 + 12x + 2 $$

2. Tính tích \( (3x^2 + 2x + 1)(4x + 3) \):
$$ (3x^2 + 2x + 1)(4x + 3) = 12x^3 + 9x^2 + 8x^2 + 6x + 4x + 3 $$
$$ = 12x^3 + 17x^2 + 10x + 3 $$

Bước 4: Kết hợp các kết quả trong tử số:
$$ f'(x) = \frac{(12x^3 + 22x^2 + 12x + 2) - (12x^3 + 17x^2 + 10x + 3)}{(2x^2 + 3x + 1)^2} $$

Bước 5: Rút gọn tử số:
$$ f'(x) = \frac{12x^3 + 22x^2 + 12x + 2 - 12x^3 - 17x^2 - 10x - 3}{(2x^2 + 3x + 1)^2} $$
$$ = \frac{5x^2 + 2x - 1}{(2x^2 + 3x + 1)^2} $$

Vậy đạo hàm của hàm số là:
$$ f'(x) = \frac{5x^2 + 2x - 1}{(2x^2 + 3x + 1)^2} $$