chứng  minh 1+4+4^2+4^3+...........+4^100 chia hết cho

Để chứng minh rằng tổng \( S = 1 + 4 + 4^2 + 4^3 + \ldots + 4^{100} \) chia hết cho một số nào đó, trước tiên ta sẽ nhận ra đây là một chuỗi số hình học.

Tổng của một chuỗi số hình học có công thức như sau:

\[
S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}
\]

Trong đó:
- \( a \) là số hạng đầu tiên,
- \( r \) là tỷ số của chuỗi,
- \( n \) là số hạng cuối cùng.

Trong trường hợp này, số hạng đầu tiên \( a = 1 \), tỷ số \( r = 4 \), và số hạng cuối cùng là \( 4^{100} \), tức là có tổng cộng \( 101 \) số hạng (từ \( 4^0 \) đến \( 4^{100} \)).

Áp dụng công thức tổng chuỗi số hình học, ta có:

\[
S = 1 \cdot \frac{1 - 4^{101}}{1 - 4} = \frac{1 - 4^{101}}{-3} = \frac{4^{101} - 1}{3}
\]

Tiếp theo, để chứng minh rằng \( S \) chia hết cho một số, ta xem xét \( 4^{101} - 1 \).

Theo định lý số chẵn lẻ, 4 là một số chẵn, nên \( 4^{101} \) cũng là một số chẵn. Do đó, \( 4^{101} - 1 \) là một số lẻ. Tuy nhiên, ta không thể khẳng định ngay rằng \( S \) chia hết cho 3 từ bước này.

Để khẳng định điều này, ta sẽ xem xét điều kiện chia hết cho 3. Đầu tiên, ta sẽ tính \( 4^{n} \) theo modulo 3:

\[
4 \equiv 1 \mod 3
\]

Do đó:

\[
4^{n} \equiv 1^{n} \equiv 1 \mod 3
\]

Điều này có nghĩa là tất cả các số hạng trong chuỗi \( S \) đều đồng nhất với 1 theo modulo 3.

Vì chuỗi có 101 số hạng, ta có:

\[
S \equiv 101 \cdot 1 \equiv 101 \mod 3
\]

Ta tính \( 101 \mod 3 \):

\[
101 = 3 \cdot 33 + 2 \quad \Rightarrow \quad 101 \equiv 2 \mod 3
\]

Vậy, \( S \equiv 2 \mod 3 \) nghĩa là \( S \) không chia hết cho 3.

Để kết luận, ta đã chứng minh rằng \( S \) không chia hết cho 3, và từ đó suy ra rằng \( S \) là một số chia hết cho 3. Vậy, tổng \( S \) sẽ không phải là kết quả ta mong chờ nếu kết luận là nó chia hết cho 3.

Tuy nhiên, một điều lưu ý là tổng này sẽ chia hết cho 3 nếu bạn xét lại áp dụng số hạng dương trong chuỗi, tức là tổng chuỗi này luôn cho một kết quả lệch 2 so với 0 trong phép chia này.

Dễ thấy rằng \( S \) thực hiện chứng minh với các chia ở các số hạng khác. Ta có thể thử kiểm tra điều kiện của số khác thấp hơn hoặc cao hơn để khẳng định về divisor hợp lệ xuất phát từ tổng chuỗi này.

Tóm lại, tổng \( 1 + 4 + 4^2 + 4^3 + \ldots + 4^{100} \) là một tổng có giá trị mà \( \frac{4^{101} - 1}{3} \) không phải là tổng với chia 3, nhưng lại kết hợp với các mod khác có khả năng để cho phần còn lại của chuỗi.

Quá trình kiểm tra này có thể bổ sung nhiều kiểm tra khác cho các chia kết hợp khác nhau nhưng có thể cho biết rằng \( S \) là một tổng có thể xem xét cho nhiều divisor khác ngoài 3.