p = [√x +1 √x - 2  -  √x +2 √x -1 ] : 3 x - 1  a] rút gọn biểu thức p b] tìm các giá trị của x để p<1

a] Để rút gọn biểu thức p, ta bắt đầu với biểu thức bên trong dấu ngọn vuông.

Biểu thức p là:

p = [ (√x + 1) / (√x - 2) - (√x + 2) / (√x - 1) ] : (3(x - 1))

Đầu tiên, ta sẽ rút gọn phần tử bên trong dấu ngọn vuông. Đặt:

A = (√x + 1) / (√x - 2) - (√x + 2) / (√x - 1)

Ta cần tìm mẫu chung để thực hiện phép trừ:

Mẫu chung sẽ là (√x - 2)(√x - 1). Ta thay đổi các phân số:

A = [(√x + 1)(√x - 1) - (√x + 2)(√x - 2)] / [(√x - 2)(√x - 1)]

Giờ đây, ta sẽ mở rộng các tử số:

1. (√x + 1)(√x - 1) = x - 1
2. (√x + 2)(√x - 2) = x - 4

Thay vào biểu thức A:

A = [(x - 1) - (x - 4)] / [(√x - 2)(√x - 1)]
= [x - 1 - x + 4] / [(√x - 2)(√x - 1)]
= [3] / [(√x - 2)(√x - 1)]

Như vậy, ta có:

A = 3 / [(√x - 2)(√x - 1)]

Thay A vào biểu thức p:

p = [3 / ((√x - 2)(√x - 1))] : (3(x - 1))
= 1 / [(√x - 2)(√x - 1)(x - 1)]

b] Để tìm các giá trị của x sao cho p < 1, ta có biểu thức:

1 / [(√x - 2)(√x - 1)(x - 1)] < 1

Lằm cả hai phía, ta có:

1 < (√x - 2)(√x - 1)(x - 1)

Ta cần tìm điều kiện để biểu thức bên phải lớn hơn 1. Đầu tiên, cần đảm bảo rằng mẫu số khác 0, tức là:

(√x - 2) != 0 (x >= 4)
(√x - 1) != 0 (x >= 1)
(x - 1) != 0 (x != 1)

Giải bất đẳng thức:

(√x - 2)(√x - 1)(x - 1) > 1

Để xác định các vùng thỏa mãn bất đẳng thức này, ta xét dấu của các từng yếu tố.

- √x - 2 lớn hơn 0 khi x > 4.
- √x - 1 lớn hơn 0 khi x > 1.
- x - 1 lớn hơn 0 khi x > 1.

Tóm lại chỉ cần xét cho x > 4 là đủ, do được thỏa mãn cho cả hai điều kiện còn lại. Do đó ta tìm nghiệm cho x trong khoảng từ 4 trở lên.

Tiếp theo, thử giá trị x = 5:

(√5 - 2)(√5 - 1)(5 - 1) > 1

Kiểm tra:

√5 ≈ 2.24, nên

(2.24 - 2)(2.24 - 1)(5 - 1) = (0.24)(1.24)(4) > 1

Điều này thỏa mãn. Như vậy, nghiệm của bất đẳng thức là x > 4.