$dfrac{sqrt{3} - sqrt{6}}{sqrt{2} - 1}$ `+` $dfrac{4}{sqrt{3}}$ `+` $dfrac{7}{sqrt{3} - 2}$

Bắt đầu với biểu thức đã cho:

$$\dfrac{\sqrt{3} - \sqrt{6}}{\sqrt{2} - 1} + \dfrac{4}{\sqrt{3}} + \dfrac{7}{\sqrt{3} - 2}.$$

Chúng ta sẽ tính từng phần của biểu thức này.

1. Tính $\dfrac{\sqrt{3} - \sqrt{6}}{\sqrt{2} - 1}$:

Ta sẽ nhân cả tử và mẫu với liên hợp của mẫu để loại bỏ căn bậc hai ở mẫu số. Liên hợp của mẫu là $\sqrt{2} + 1$.

$$\dfrac{\sqrt{3} - \sqrt{6}}{\sqrt{2} - 1} \cdot \dfrac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \dfrac{(\sqrt{3} - \sqrt{6})(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)}$$

Mẫu số trở thành:

$$(\sqrt{2})^2 - (1)^2 = 2 - 1 = 1,$$

vậy mẫu là 1.

Việc tính tử số:

$$(\sqrt{3} - \sqrt{6})(\sqrt{2} + 1) = \sqrt{3}\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{6}\sqrt{2} - \sqrt{6}.$$

Biểu thức trở thành:

$$\sqrt{6} + \sqrt{3} - \sqrt{12} - \sqrt{6}.$$

Ta biết rằng $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$. Ta thay thế:

$$\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = -\sqrt{3}.$$

Vậy $\dfrac{\sqrt{3} - \sqrt{6}}{\sqrt{2} - 1} = -\sqrt{3}$.

2. Tính $\dfrac{4}{\sqrt{3}}$:

Giữ nguyên dạng này.

3. Tính $\dfrac{7}{\sqrt{3} - 2}$:

Ta có thể nhân cả tử và mẫu với liên hợp của mẫu là $\sqrt{3} + 2$ để loại bỏ căn bậc hai ở mẫu số.

$$\dfrac{7}{\sqrt{3} - 2} \cdot \dfrac{\sqrt{3} + 2}{\sqrt{3} + 2} = \dfrac{7(\sqrt{3} + 2)}{(\sqrt{3} - 2)(\sqrt{3} + 2)}.$$

Mẫu số trở thành:

$$(\sqrt{3})^2 - (2)^2 = 3 - 4 = -1,$$

vậy mẫu là -1.

Tử số sẽ là:

$$7(\sqrt{3} + 2) = 7\sqrt{3} + 14.$$

Vậy $\dfrac{7}{\sqrt{3} - 2} = -(7\sqrt{3} + 14) = -7\sqrt{3} - 14.$

4. Tổng hợp lại:

Bây giờ ta thay thế vào biểu thức chính:

$$ -\sqrt{3} + \dfrac{4}{\sqrt{3}} - (7\sqrt{3} + 14).$$

Nhóm các hạng tử lại với nhau:

$$(-\sqrt{3} - 7\sqrt{3}) + \dfrac{4}{\sqrt{3}} - 14 = -8\sqrt{3} + \dfrac{4}{\sqrt{3}} - 14.$$

5. Biểu thức cuối cùng:

Chúng ta có thể viết $\dfrac{4}{\sqrt{3}}$ thành một dạng giống các hạng tử khác bằng cách nhân với $\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$:

$$\dfrac{4\sqrt{3}}{3}.$$

Hợp nhất lại, ta có biểu thức cuối cùng:

$$-8\sqrt{3} + \dfrac{4\sqrt{3}}{3} - 14.$$

Để trừ các hạng tử với nhau, ta đưa $-8\sqrt{3}$ về cùng mẫu, với mẫu là 3:

$$-\dfrac{24\sqrt{3}}{3} + \dfrac{4\sqrt{3}}{3} - 14 = -\dfrac{20\sqrt{3}}{3} - 14.$$

Do đó, kết quả cuối cùng là:

$$-\dfrac{20\sqrt{3}}{3} - 14.$$