Cho tam giác ABC vuông tại A vẽ đường cao AH, AB = 6 cm, AC = 8cm a/ Chứng minh HBA đồng dạng ABC và AH.BC=AB.AC. b/ Tính BC, AH, BH c/ Gọi BE là phân giác của góc ABC, BE cắt AH tại D. Chứng minh ABD đồng

a/ Để chứng minh HBA đồng dạng ABC, ta cần chỉ ra rằng các góc tương ứng của hai tam giác HBA và ABC là bằng nhau.

- Gọi các góc trong tam giác ABC:
- ∠A = 90°
- ∠B = ∠HBA (bởi vì AH là đường cao)
- ∠C = ∠HBAC (bởi vì hai tam giác HBA và ABC đều có góc A)

Vậy ta có ∠A = ∠H + ∠B. Điều này cho thấy ∠HBA = ∠B.
Vì vậy, tam giác HBA có các góc tương ứng: ∠HBA = ∠B, ∠BAH = ∠A và ∠BAH = ∠C. Do đó, tam giác HBA đồng dạng với tam giác ABC.

Tiếp theo, ta sẽ chứng minh AH.BC = AB.AC:

Từ tính chất đồng dạng, ta có tỉ lệ giữa các cạnh tương ứng của tam giác HBA và ABC:

AH/AC = AB/HB.

Chúng ta có:
- AH = γ1,
- AC = 8,
- AB = 6,
- BC = c (còn phải tính toán)

Từ tính chất đồng dạng:
AH/8 = 6/HB
=> AH HB = 6 8 = 48.

Vì vậy, ta có AH.BC = AB.AC.

b/ Tính BC, AH, BH:
Ta sử dụng định lý Pythagoras để tính cạnh BC:
BC^2 = AB^2 + AC^2
=> BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100
=> BC = √100 = 10 cm.

Tiếp theo, ta tính đường cao AH. Theo công thức, đường cao AH của tam giác vuông ABC:
AH = (AB * AC) / BC
=> AH = (6 * 8) / 10 = 48 / 10 = 4.8 cm.

Cuối cùng, ta có thể tính BH:
Ta có ∆HBA đồng dạng với ∆ABC, nên tỉ lệ tương ứng:
BH/AB = AH/AC
=> BH / 6 = 4.8 / 8
=> BH = (6 * 4.8) / 8 = 36 / 8 = 4.5 cm.

Tóm lại:
BC = 10 cm, AH = 4.8 cm, BH = 4.5 cm.

c/ Tính đồng dạng ABD và CBE:
Ta có các góc ∠BDA = ∠ABE (đều là góc B).
Góc ∠ABD = ∠CBE do BE là phân giác nên ∠CBE = ∠BAH = ∠BDA.
Các góc trong hai tam giác ABD và CBE đều có mối tương ứng và có chiều kích tương đối.

Từ đó, chúng ta xác nhận ABD đồng dạng CBE.

d/ Chứng minh AE.BH = BA.DH:
Từ tính chất đồng dạng, ta có tỉ lệ:
AB/BE = AH/BH.

Từ đó, chúng ta biết được rằng:
AE = AB - BE
=> AE.BH = (AB - BE) BH = AB BH - BE * BH.

Mặt khác:
BA.DH = BA.BH * BE.

Ta kết luận rằng AE.BH = BA.DH do tỉ lệ đồng dạng mà ta đã chứng minh ở trên.