cho hình chóp S.ABCD, gọi M,N là trung điểm của SA,SC. Gọi P thuộc BC sao cho BP = 1/3 BC. Tìm thiết diện (PMN) và hình chóp

Để tìm thiết diện (PMN) của hình chóp S.ABCD qua các điểm M, N, P, trước hết ta cần xác định vị trí của các điểm này trong không gian.

1. Xác định các điểm:
- Gọi S là đỉnh của hình chóp, và A, B, C, D là các đỉnh của đáy ABCD.
- M là trung điểm của SA. Có nghĩa là M nằm trên đoạn thẳng SA và cách đều S và A.
- N là trung điểm của SC. N cũng nằm trên đoạn thẳng SC và cách đều S và C.
- P là một điểm nằm trên cạnh BC sao cho BP = 1/3 BC. Khi đó, P chia đoạn BC thành 2 phần: BP và PC.

2. Tọa độ và vị trí:
- Nếu chúng ta xét tọa độ của các điểm trong không gian với S (0, 0, h), A (x1, y1, 0), B (x2, y2, 0), C (x3, y3, 0), D (x4, y4, 0), thì các tọa độ sẽ được xác định như sau:
- Điểm M = ((0 + x1)/2, (0 + y1)/2, h/2)
- Điểm N = ((0 + x3)/2, (0 + y3)/2, h/2)
- Điểm P = (x2 + 1/3(x3 - x2), y2 + 1/3(y3 - y2), 0)

3. Thiết diện PMN:
- Thiết diện PMN được xác định bởi các điểm P, M, N. Để xác định thiết diện này, chúng ta cần tìm một mặt phẳng chứa cả ba điểm:
- Mặt phẳng này có thể được xác định bằng cách tìm vectơ pháp tuyến của nó thông qua ba điểm P, M, N.
- Ta có thể tính vectơ PM và PN:
- PM = (Mx - Px, My - Py, Mz - Pz)
- PN = (Nx - Px, Ny - Py, Nz - Pz)
- Sử dụng tích có hướng giữa hai vectơ PM và PN để tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

4. Hình chóp:
- Do P nằm trên cạnh BC, còn M, N đều nằm trên các cạnh SA, SC và cùng thuộc mặt phẳng chứa S, M, N. Hình chóp PMN nằm trong thiết diện PMN và sẽ có đỉnh là P, còn đáy sẽ là tam giác MN.
- Diện tích của thiết diện này phụ thuộc vào diện tích tam giác MN cùng chiều cao từ P hạ xuống mặt phẳng MN.

5. Nhận xét:
- Thiết diện PMN là một tam giác nằm trong mặt phẳng chứa các điểm P, M, N. Hình chóp PMN có điểm P là đỉnh và đáy là tam giác MN.
- Thiết diện này cũng có mối liên hệ với các cạnh SA, SC, vì M, N đều là trung điểm của các đoạn thẳng từ S đến các điểm A và C, dẫn đến việc thiết diện này sẽ có sự đối xứng liên quan đến các trung điểm đó.

Tóm lại, thiết diện PMN là một tam giác trong không gian mà ba điểm P, M, N xác định, và hình chóp PMN được tạo thành với điểm P là đỉnh và đáy là tam giác MN.