Cho hình thôi ABCD tâm Ở , cạnh 2a . Góc BAD =60° . Tính độ dài vectơ AB+AD

Để tìm độ dài của vectơ AB + AD trong hình thoi ABCD với tâm O, cạnh 2a và góc BAD = 60°, chúng ta thực hiện các bước sau:

1. Tính các tọa độ của các điểm:
- Đặt O là gốc tọa độ (0,0).
- Vì ABCD là hình thoi và cạnh của nó là 2a, nên mỗi cạnh có chiều dài 2a.
- Từ góc BAD = 60° ta có thể tính các vectơ AB và AD.

2. Tính vectơ AB:
- Vectơ AB có thể được biểu diễn dưới dạng:
AB = (2a cos(60°), 2a sin(60°)).
- Giá trị cos(60°) = 1/2 và sin(60°) = √3/2.
- Do đó:
AB = (2a 1/2, 2a √3/2) = (a, a√3).

3. Tính vectơ AD:
- Vectơ AD tạo thành một góc 60° với vectơ AB (bởi vì AD và AB là hai cạnh của hình thoi tạo thành góc giữa nhau).
- Để tính AD, chúng ta cần chú ý rằng vectơ AD cũng có độ dài 2a. Với góc 60°, ta có thể biểu diễn:
AD = (2a cos(60° + 90°), 2a sin(60° + 90°)).
- Giá trị cos(150°) = -√3/2 và sin(150°) = 1/2. Vì góc 150° = 60° + 90° (điểm A ở điểm 0 độ, và điểm D ở 90 độ so với A), tọa độ trở thành:
AD = (2a (-√3/2), 2a (1/2)) = (-a√3, a).

4. Cộng vectơ AB và AD:
- Bây giờ ta cộng hai vectơ:
AB + AD = (a, a√3) + (-a√3, a) = (a - a√3, a√3 + a).

5. Tính độ dài của vectơ AB + AD:
- Độ dài của vectơ này được tính bằng công thức:
|AB + AD| = √((a - a√3)² + (a√3 + a)²).
- Tính từng phần trong căn:
- (a - a√3)² = a²(1 - 2√3 + 3) = a²(4 - 2√3).
- (a√3 + a)² = a²(3 + 2√3 + 1) = a²(4 + 2√3).
- Ghép lại và tính tổng:
|AB + AD| = √(a²(4 - 2√3) + a²(4 + 2√3)) = √(8a²) = 2√2 * a.

Do đó, độ dài của vectơ AB + AD là 2√2 * a.