Cho pt :· $x^{2}$ -2x-3$m^{2}$ =0 ìmể pt ó 2 n khác 0 và TM $frac{x_{1}}{x_{3}}$ -$frac{x_{2}}{x_{1}}$ = $frac{8}{3}$

Để giải bài toán này, đầu tiên ta cần xác định các hệ số trong phương trình bậc hai:

x² - 2x - 3m² = 0

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0, ta có:

a = 1, b = -2, c = -3m².

Nghiệm của phương trình sẽ được tính bằng công thức:

x1,2 = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a.

Thay các giá trị a, b, c vào công thức ta có:

x1,2 = (2 ± √((-2)² - 4 1 (-3m²))) / (2 * 1)
= (2 ± √(4 + 12m²)) / 2
= (2 ± √(4(1 + 3m²))) / 2
= (2 ± 2√(1 + 3m²)) / 2
= 1 ± √(1 + 3m²).

Do đó, nghiệm của phương trình là:

x1 = 1 + √(1 + 3m²) và x2 = 1 - √(1 + 3m²).

Bài toán yêu cầu hai nghiệm này khác 0, do đó ta cần kiểm tra điều kiện:

1 + √(1 + 3m²) ≠ 0 và 1 - √(1 + 3m²) ≠ 0.

Với √(1 + 3m²) là một số dương (vì 1 + 3m² luôn dương với mọi m thực), ta có:

1 - √(1 + 3m²) < 0 (do 1 < √(1 + 3m²)).

Do đó cần phải có điều kiện cho m để x2 khác 0.

Điều kiện này được thỏa mãn khi:

√(1 + 3m²) < 1, dẫn đến:

1 + 3m² < 1,
3m² < 0,

điều này chỉ xảy ra khi m = 0, mà không làm cho x1 và x2 khác 0. Vậy m khác 0 là hợp lệ để có hai nghiệm khác 0.

Tiếp theo, kita tính:

x1/x3 - x2/x1 = 8/3.

Ta có:

- Gọi x3 là nghiệm thứ ba của một phương trình bậc ba nào đó với hệ số phương trình cụ thể. Từ hai nghiệm x1 = 1 + √(1 + 3m²), x2 = 1 - √(1 + 3m²), ta cần viết biểu thức này theo x1 và x2.

Tuy nhiên, trong trường hợp này, x3 có thể cho là một nghiệm khác độc lập nào đó. Do đó, ta chỉ tiếp tục giải:

x1 / x3 - x2 / x1 = 8/3
=> x1^2 – x2x3 = 8/3 * x3.

Thay x1 và x2 vào, ta sẽ cần giải một bài toán với m để cho ra x3. Xong xong với đó, nên có nghiệm lớn thứ nhất và các nghiệm khác.

Câu hỏi cuối cùng sẽ yêu cầu 찾기 điều kiện đầy đủ cho m sao cho hệ phương trình này được thỏa mãn.

Để giải thích tổng quát, cần thiết phải tính được cụ thể x3 hoặc phương trình bậc ba tương ứng. Việc tìm kiếm tính tổng các nghiệm sẽ giúp get được các giá trị m cho phù hợp để thỏa mãn điều kiện trên.

Vì lý do trong bài không đảm bảo cụ thể về x3, chúng ta phải đưa ra các cách kiểm tra cho các giá trị m để xem có phải thỏa mãn điều kiện trên không.

Và cuối cùng, sau khi xét điều kiện cho m là một thực số khác không, ta sẽ có tổng hợp cuối cho các giá trị được đem vào biểu thức này để đánh giá cụ thể các ứng nghiệm đạt yêu cầu.