tìm tất cả các số nguyên tố a, b thỏa mãn a^b +b^a =2011

Để giải phương trình a^b + b^a = 2011 với a và b là số nguyên tố, trước tiên ta cần xem xét các tính chất của số nguyên tố và những gì xảy ra khi một số nguyên tố được đưa lên lũy thừa.

1. Tính chất của phương trình:
- Phương trình a^b + b^a = 2011 cho thấy rằng cả hai hạng tử a^b và b^a đều phải là số dương. Bên cạnh đó, 2011 là một số lẻ, vì vậy a^b và b^a cũng phải là số lẻ.
- Điều này ngụ ý rằng ít nhất một trong hai số a hoặc b phải là số nguyên tố lẻ. Chỉ có số nguyên tố 2 là số chẵn và tất cả số nguyên tố khác đều là số lẻ.

2. Xét trường hợp có 2 là một trong các số nguyên tố:
- Giả sử a = 2, thì ta có:
2^b + b^2 = 2011.
- Tìm giá trị b:
- b = 2: 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8 (không thỏa mãn).
- b = 3: 2^3 + 3^2 = 8 + 9 = 17 (không thỏa mãn).
- b = 5: 2^5 + 5^2 = 32 + 25 = 57 (không thỏa mãn).
- b = 7: 2^7 + 7^2 = 128 + 49 = 177 (không thỏa mãn).
- b = 11: 2^11 + 11^2 = 2048 + 121 = 2169 (vượt quá 2011).
- Như vậy, không có giá trị nguyên tố b nào thỏa mãn nếu a = 2.

3. Xét trường hợp cả a và b đều là số lẻ:
- Bắt đầu từ những số nguyên tố nhỏ hơn 2011.
- Một số nguyên tố có thể là 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233...

Ta cần thử tất cả các cặp số nguyên tố này để xem có cặp nào (a, b) nào thỏa mãn phương trình.

4. Nhưng để giảm thiểu số lượng phép thử:
- Đặt a = 3:
- b = 3: 3^3 + 3^3 = 27 + 27 = 54 (không thỏa mãn).
- b = 5: 3^5 + 5^3 = 243 + 125 = 368 (không thỏa mãn).
- b = 7: 3^7 + 7^3 = 2187 + 343 = 2530 (vượt quá 2011).
- Đặt a = 5:
- b = 3: 5^3 + 3^5 = 125 + 243 = 368 (không thỏa mãn).
- b = 5: 5^5 + 5^5 = 3125 + 3125 (vượt quá 2011).
- Đặt a = 7 và b = 3: 7^3 + 3^7 = 343 + 2187 = 2530 (không thỏa mãn).

Bằng cách thử tất cả các kết hợp của số nguyên tố, không có cặp nào thỏa mãn.

Tổng kết lại: Không có cặp số nguyên tố (a, b) nào sao cho a^b + b^a = 2011.