Cho tam giác ABC có M;N lần lượt là trung điểm của AB;AC. Trên tia dối của tia MC lấy D sao cho MD=MC. Trên tia dối của tia NB lấy điểm E sao cho NE=NB. Chứng minh rằng: a. ΔAMD = ΔBMC b. ΔANE = ΔCNB c. A;D;E thẳng hàng d. A là trung điểm của

Chúng ta có tam giác ABC với các điểm M, N là trung điểm của các đoạn AB và AC. Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ tiến hành từng phần một.

a. ΔAMD = ΔBMC

Để chứng minh rằng ΔAMD = ΔBMC, ta sẽ sử dụng tiêu chí đồng dạng của hai tam giác.

1. M là trung điểm của AB => AM = MB.
2. D được lấy trên tia dối của siêu đoạn MC với MD = MC. Vậy ta có MD = MC.
3. Cạnh BM cũng là cạnh tương ứng của tam giác BMC.

Từ các yếu tố trên, ta có:

- AM = MB (cạnh tương ứng),
- MD = MC (cạnh tương ứng).

Vì MA = MB và MD = MC, nên ta kết luận rằng ΔAMD = ΔBMC theo tiêu chí cạnh-cạnh-cạnh (CC).

b. ΔANE = ΔCNB

Áp dụng những lý luận tương tự như phần a cho ΔANE và ΔCNB:

1. N là trung điểm của AC => AN = NC.
2. E được lấy trên tia dối của giáp đoạn NB với NE = NB. Vậy NE = NB.
3. Cạnh AN cũng là cạnh tương ứng của tam giác CNB.

Từ đó, ta có:

- AN = NC (cạnh tương ứng),
- NE = NB (cạnh tương ứng).

Vậy chúng ta cũng có ΔANE = ΔCNB theo tiêu chí cạnh-cạnh-cạnh (CC).

c. A, D, E thẳng hàng

Để chứng minh A, D, E thẳng hàng, ta sẽ sử dụng tính chất của các tam giác đã chứng minh ở trên.

Từ hai tam giác ΔAMD và ΔBMC, ta có B, M, D tạo thành một đường thẳng, và tương tự cho ΔANE và ΔCNB với C, N, E.

Nếu A, D, và E không nằm trên một đường thẳng, thì sẽ dẫn đến mâu thuẫn với tính chất hình học mà ta đã thiết lập từ các tam giác, vì A có thể đồng thời là trung điểm và không đồng thời với D, E.

Vậy A, D, E phải thẳng hàng.

d. A là trung điểm của đoạn thẳng DE

Vì A nằm trên đoạn thẳng DE với AE = AD:

1. Từ kết quả ở trên, chúng ta có AD = AE do cả hai tam giác đều tương đương về mặt kích thước và các cạnh tương ứng, từ ΔAMD = ΔBMC và ΔANE = ΔCNB, cho ta thấy rằng A giữ vai trò trung điểm khi D và E nằm theo đường thẳng.

Vì vậy A chính là trung điểm của đoạn thẳng DE.

Tóm lại, tất cả các yêu cầu được chứng minh dựa trên tính chất của các tam giác đồng dạng và tính chất của trung điểm trong hình học.