cho tam giác ABC có góc A bằng 90 độ lấy điểm D là điểm đối xứng của B qua A chứng minh CA là tia phân giác của góc BCD

Để chứng minh CA là tia phân giác của góc BCD, ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác vuông và tính đối xứng.

1. Thiết lập hệ tọa độ: Giả sử A(0, 0), B(b, 0) (vì AB nằm trên trục hoành), C(0, c) (vì AC nằm trên trục tung).

2. Tìm tọa độ điểm D: Vì D là điểm đối xứng của B qua A, nên tọa độ của D sẽ là D(-b, 0).

3. Tính độ dài các đoạn thẳng:
- Độ dài đoạn BC:
- BC = √[(b - 0)² + (0 - c)²] = √[b² + c²].
- Độ dài đoạn CD:
- CD = √[(-b - 0)² + (0 - c)²] = √[b² + c²].

Ta thấy BC = CD.

4. Sử dụng tính đối xứng: Dựa vào tính đối xứng của điểm D với B qua A, ta có góc ABC bằng góc ADC.

5. Xét các tam giác:
- Tam giác ABC vuông tại A.
- Tam giác ADC cũng vuông tại A do D và B cùng nằm trên trục hoành, và AC chung cho cả hai tam giác này.

6. Áp dụng định lý Cosine trong tam giác BCD:
- Cosine của góc BCD sẽ bằng tỉ lệ độ dài hai cạnh kề của góc đó, do BC = CD, nên góc BCD sẽ được chia đều cho CA.

7. Kết luận:
- Vì BC = CD và góc ABC = góc ADC, nên CA chính là tia phân giác của góc BCD.

Như vậy, ta đã chứng minh CA là tia phân giác của góc BCD.