Tính  1/(a-b)(b-c) + 1/(b-c)(c-a) + 1/(c-a)(a-b)

Để tính biểu thức \( S = \frac{1}{(a-b)(b-c)} + \frac{1}{(b-c)(c-a)} + \frac{1}{(c-a)(a-b)} \), trước tiên chúng ta sẽ tìm cách đưa biểu thức về một mẫu số chung.

Ta có ba phân thức, mỗi phân thức có một mẫu số khác nhau. Để có mẫu số chung, chúng ta sẽ nhân các mẫu số lại với nhau:

Mẫu số chung sẽ là \( (a-b)(b-c)(c-a) \).

Bây giờ ta sẽ đưa từng phân thức về mẫu số chung này:

1. Đối với phân thức đầu tiên \( \frac{1}{(a-b)(b-c)} \):
- Mẫu số cần thêm là \( (c-a) \), do đó:
\[
\frac{1}{(a-b)(b-c)} = \frac{(c-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)}
\]

2. Đối với phân thức thứ hai \( \frac{1}{(b-c)(c-a)} \):
- Mẫu số cần thêm là \( (a-b) \), do đó:
\[
\frac{1}{(b-c)(c-a)} = \frac{(a-b)}{(b-c)(c-a)(a-b)}
\]

3. Đối với phân thức thứ ba \( \frac{1}{(c-a)(a-b)} \):
- Mẫu số cần thêm là \( (b-c) \), do đó:
\[
\frac{1}{(c-a)(a-b)} = \frac{(b-c)}{(c-a)(a-b)(b-c)}
\]

Giờ đây chúng ta có biểu thức:
\[
S = \frac{(c-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)} + \frac{(a-b)}{(b-c)(c-a)(a-b)} + \frac{(b-c)}{(c-a)(a-b)(b-c)}
\]

Sau khi có cùng mẫu số, ta có thể gộp các tử lại:
\[
S = \frac{(c-a) + (a-b) + (b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)}
\]
Rút gọn phần tử trong dấu ngoặc:
\[
(c-a) + (a-b) + (b-c) = c - a + a - b + b - c = 0
\]

Vì tử số bằng 0, ta có:
\[
S = \frac{0}{(a-b)(b-c)(c-a)} = 0
\]

Vậy kết quả cuối cùng là:
\[
\boxed{0}
\]