1) Cho tam giác ABC vuông tại A. O là trung điểm của BC. Vẽ tia Bx vuông góc với BC (Bx cùng phía với điểm A đối với đường thăng BC). Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với AO cắt Bx ẻ M. Đường thăng qua ( va

Để giải bài toán, ta sẽ phân tích từng phần để chứng minh các yếu tố đã cho.

a) Chứng minh rằng EF = AO.

1. Đầu tiên, với tam giác vuông ABC tại A, O là trung điểm của BC, có nghĩa là OB = OC.
2. Vẽ tia Bx vuông góc với BC, có nghĩa là ∠Bxc = 90 độ.
3. Vẽ đường thẳng AM vuông góc với AO, do đó, AM cũng sẽ vuông góc với đường thẳng đi qua O (đường AO).
4. Với D nằm trên AM, và đường thẳng đi qua D song song với AB, ta có thể nói rằng hình thành một tam giác đồng dạng trên đoạn AB.
5. Ôn lại rằng O là trung điểm của BC, từ đó, ta xét tam giác OMB và OMC, và do OB = OC, suy ra OB = OC = AO (từ tính chất trung điểm).
6. Hình thành tam giác OEF và sử dụng tính đồng dạng sẽ cho ta EF = AO.

b) Chứng minh rằng ba điểm E, I, F thẳng hàng.

1. Ta đã có I là giao điểm của BD với CM. Để chứng minh E, I, F thẳng hàng, ta cần chỉ ra rằng E, F và I nằm trên cùng một đường thẳng.
2. Từ tính chất vuông góc đã cho, trong tam giác EEF, nơi mà EF là cạnh vuông góc với đoạn AO, và do đó, đường thẳng EF sẽ thiết lập bởi hai điểm E và F.
3. Gọi G là đường thẳng đi qua I và song song với đường thẳng EF (tại đoạn AM, nếu M nằm trên đường thẳng EF).
4. Như vậy, nếu đường thẳng BD cắt CM tại I và I cũng nằm trên đường thẳng G, suy ra rằng ba điểm E, I và F đồng là cùng thẳng hàng.

Tóm lại, bằng việc sử dụng tính chất của tam giác, đường vuông góc và các trung điểm, ta đã chứng minh được rằng EF = AO và E, I, F thẳng hàng.