Cho tam giác MNP vuông tại M. Trên cạnh MP lấy điểm T và vẽ đường tròn đường kính TP. Kẻ NT cắt đường tròn tại Q.Đường thẳng MQ cắt đường tròn tại S, CMR: a) MNPQ là tứ giác nội tiếp b) ^MNQ =^ MPQ

a) Để chứng minh MNPQ là tứ giác nội tiếp, ta cần chứng minh rằng góc ở hai đỉnh đối diện của tứ giác này bằng 180 độ.

Xét các điểm M, N, P, Q. Vì MN là cạnh vuông góc với MP (m vì tam giác MNP vuông tại M), ta có góc MPQ là góc ở đỉnh P.

Điểm Q nằm trên đường tròn với đường kính TP, theo tính chất của đường tròn, góc MQT sẽ là góc nội tiếp, có nghĩa là góc này sẽ bằng 90 độ (do MP là đường kính). Vì vậy, góc NQT cũng bằng 90 độ (bởi vì MQ là đường thẳng cắt đường tròn).

Như vậy, chúng ta có:
- Góc NMQ = 90 độ (góc vuông tại M)
- Góc PQM = 90 độ (góc nội tiếp)

Vậy tứ giác MNPQ có hai góc đối diện là NMQ và PQM, mà cả hai đều bằng 90 độ, do đó MNPQ là tứ giác nội tiếp.

b) Để chứng minh rằng góc MNQ bằng góc MPQ, ta thực hiện như sau:

Từ kết quả ở trên, ta đã biết góc MPQ là góc nội tiếp của đường tròn với chu vi TP.

Theo tính chất của đường tròn, góc nội tiếp NQT của tam giác MNP, với Q nằm trên đường tròn với đường kính TP, cũng sẽ bằng 90 độ, do NP mùi đường kính MP.

Góc MNQ là một góc ở ngoài tam giác, và theo tính chất, nó sẽ bằng tổng hai góc trong của tam giác KPM, trong đó góc KPM là góc MPQ.

Vì vậy, có:
^MNQ = ^MPQ

Từ đó, ta đã chứng minh được rằng tứ giác MNPQ là nội tiếp và góc MNQ bằng góc MPQ.