Cho tam giác ABC có AB = 2 , BC = 4 và AC = 3 . Tính co - sin của góc tạo bởi hai vecto AB và vecto AB

Để tính cosin của góc tạo bởi hai vectơ AB và AC trong tam giác ABC, ta cần sử dụng công thức cosin của góc giữa hai vectơ. Theo định nghĩa, cosin của góc giữa hai vectơ u và v là

cos(θ) = (u • v) / (||u|| ||v||)

Trong đó:
- u • v là tích vô hướng (dot product) của hai vectơ.
- ||u|| và ||v|| là độ dài của hai vectơ.

Trước hết, chúng ta cần xác định các tọa độ của các điểm A, B và C. Giả sử:
- A(0, 0)
- B(2, 0) (vì AB = 2)
- Để tìm tọa độ của điểm C, ta cần thỏa mãn các điều kiện AB = 2, AC = 3, và BC = 4.

Tọa độ của C có thể đại diện dưới dạng (x, y). Ta có:
1. AC: x^2 + y^2 = 3^2 = 9
2. BC: (x - 2)^2 + y^2 = 4^2 = 16.

Chúng ta sẽ thay đổi (1) vào (2).

Từ (1): x^2 + y^2 = 9 → y^2 = 9 - x^2.

Thay vào (2):
(x - 2)^2 + (9 - x^2) = 16.
Đơn giản hóa:
x^2 - 4x + 4 + 9 - x^2 = 16
-4x + 13 = 16
-4x = 3
x = -3/4.

Thay x vào (1):
(-3/4)^2 + y^2 = 9
9/16 + y^2 = 9
y^2 = 9 - 9/16
y^2 = 144/16 - 9/16 = 135/16
y = ±√(135/16) = ±(3√15)/4.

Vậy, tọa độ các điểm là:
A(0, 0), B(2, 0), và C(-3/4, 3√15/4) hoặc C(-3/4, -3√15/4).

Bây giờ chúng ta xác định vectơ AB và AC:
- Vectơ AB = B - A = (2, 0) - (0, 0) = (2, 0)
- Vectơ AC = C - A = (-3/4, 3√15/4) - (0, 0) = (-3/4, 3√15/4)

Tính tích vô hướng u • v:
u • v = (2, 0) • (-3/4, 3√15/4) = 2 (-3/4) + 0 (3√15/4) = -3/2.

Tính độ dài của các vectơ:
||AB|| = √(2^2 + 0^2) = √4 = 2,
||AC|| = √((-3/4)^2 + (3√15/4)^2) = √(9/16 + 135/16) = √(144/16) = √9 = 3.

Áp dụng vào công thức cosin:
cos(θ) = (u • v) / (||u|| ||v||) = (-3/2) / (2 * 3) = -3/12 = -1/4.

Vậy cosin của góc tạo bởi hai vectơ AB và AC là -1/4.