Các điểm M và N lần lượt thuộc các cạnh AB và BC của hình vuông ABCD sao cho BM = BN < AM. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và MD. Chứng minh rằng AN ⊥ EF

Để chứng minh rằng AN ⊥ EF, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định tọa độ các điểm:
Giả sử ta có hình vuông ABCD với A(0, 0), B(a, 0), C(a, a), D(0, a).
Điểm M nằm trên cạnh AB, do đó tọa độ của M có thể được biểu diễn là M(x, 0) với 0 < x < a.
Điểm N nằm trên cạnh BC, vậy tọa độ của N có thể là N(a, y) với 0 < y < a.

2. Điều kiện BM = BN:
Ta có BM = a - x và BN = y. Theo giả thiết, BM = BN, tức là a - x = y. Như vậy, ta có y = a - x.

3. Tọa độ trung điểm E và F:
- Trung điểm E của AB: E = ((0 + a) / 2, (0 + 0) / 2) = (a/2, 0).
- Trung điểm F của MD: Đầu tiên, tọa độ M như trên là (x, 0) và tọa độ D là (0, a). Tọa độ trung điểm F là F = ((x + 0) / 2, (0 + a) / 2) = (x/2, a/2).

4. Phương trình đường thẳng AN:
Điểm N có tọa độ (a, y) với y = a - x, do đó AN có phương trình:
- Độ dốc của AN là (y - 0) / (a - 0) = (a - x) / a.

5. Phương trình đường thẳng EF:
Để tính độ dốc đường thẳng EF, ta cần độ dốc giữa hai điểm E và F:
- Độ dốc EF = (a/2 - 0) / (x/2 - a/2) = (a/2) / ((x - a) / 2) = a / (x - a).

6. Chứng minh AN ⊥ EF:
Hai đường thẳng AN và EF vuông góc nếu tích của độ dốc của chúng bằng -1. Do đó, ta cần chứng minh:
- ((a - x) / a) * (a / (x - a)) = -1.
- Từ đó, ta có (a - x) a = -a (x - a).
- Khi rút gọn, ta có a - x = -x + a, dẫn đến 2(x - a) = 0, suy ra x = a.

Vì M và N thỏa mãn điều kiện BM = BN và AN, EF là 2 đường thẳng vuông góc. Ta đã chứng minh được rằng AN ⊥ EF.