Chứng minh : 1 + $2^{1}$ + $2^{2}$ + $2^{3}$ + $2^{4}$ + ... + $2^{100}$ chia 15 dư 1

Để chứng minh rằng \( 1 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{100} \) chia 15 dư 1, chúng ta sẽ tính tổng này và tính toán nó theo modulo 15.

1. Tính tổng: Tổng mà chúng ta có thể viết dưới dạng công thức tổng của một cấp số nhân. Cấp số nhân này có a = 1, r = 2, số hạng cuối là \( n = 2^{100} \).

Công thức tổng của cấp số nhân là:
\[
S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1}
\]
Trong trường hợp này, \( a = 1 \), \( r = 2 \) và \( n = 100 \):
\[
S = 1 \cdot \frac{2^{101} - 1}{2 - 1} = 2^{101} - 1
\]

2. Tính \( 2^{101} \mod 15 \): Để tính \( 2^{101} \mod 15 \), chúng ta sử dụng định lý Fermat hoặc phân tích chu kỳ của \( 2^n \mod 15 \).

Cụ thể, ta sẽ tính \( 2^n \mod 15 \) cho một vài giá trị của n để tìm ra chu kỳ:
- \( 2^1 = 2 \)
- \( 2^2 = 4 \)
- \( 2^3 = 8 \)
- \( 2^4 = 16 \equiv 1 \mod 15 \)

Ta thấy rằng \( 2^4 \equiv 1 \mod 15 \). Điều này có nghĩa là chu kỳ của \( 2^n \mod 15 \) là 4.

Để tính \( 2^{101} \mod 15 \):
\( 101 \mod 4 = 1 \) (bởi vì \( 101 = 4 \cdot 25 + 1 \)), do đó:
\[
2^{101} \mod 15 \equiv 2^1 \equiv 2 \mod 15
\]

3. Tính tổng: Giờ chúng ta quay lại với tổng đã tìm được:
\[
S = 2^{101} - 1 \equiv 2 - 1 \equiv 1 \mod 15
\]

Vậy kết luận là \( 1 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{100} \) chia 15 dư 1.