CHỨNG MINH: A=2^1+2^2+2^3+2^4+....+2^2010 CHIA HẾT CHO 10

Để chứng minh A = 2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^2010 chia hết cho 10, chúng ta sẽ tính giá trị A.

Đầu tiên, A là một cấp số nhân với công bội là 2. Chúng ta có thể sử dụng công thức tổng của cấp số nhân để tính A:

A = 2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^2010 = 2(1 + 2 + 2^2 + ... + 2^2009)

Gọi S = 1 + 2 + 2^2 + ... + 2^2009. Đây cũng là một tổng của cấp số nhân. S có thể được tính bằng công thức:

S = (b^n - 1) / (b - 1)

Trong đó, b là công bội (ở đây b = 2) và n là số hạng (ở đây n = 2010, nhưng trong tổng này số hạng là 2009, tức là từ 2^0 đến 2^2009).

Vậy:

S = (2^2010 - 1) / (2 - 1) = 2^2010 - 1

Vì vậy, A có thể viết lại như sau:

A = 2 S = 2 (2^2010 - 1) = 2^2011 - 2

Chúng ta cần chứng minh rằng A chia hết cho 10. Chúng ta sẽ xem xét A modulo 10.

Đầu tiên, hãy xác định 2^2011 modulo 10. Chuỗi số mũ của 2 mod 10 có chu kỳ là 4:

- 2^1 mod 10 = 2
- 2^2 mod 10 = 4
- 2^3 mod 10 = 8
- 2^4 mod 10 = 6
- 2^5 mod 10 = 2 (chu kỳ bắt đầu lại từ đây)

Vì vậy, với 2011, chúng ta tính 2011 mod 4:

2011 mod 4 = 3.

Từ bảng trên, 2^3 mod 10 = 8. Vậy:

2^2011 mod 10 = 8.

Bây giờ, chúng ta sẽ tính 2^2011 - 2 mod 10:

A mod 10 = (2^2011 - 2) mod 10 = (8 - 2) mod 10 = 6 mod 10.

Vì vậy, A = 2^1 + 2^2 + ... + 2^2010 không chia hết cho 10.