Biến đổi biểu thức trong căn thành bình phương của một tổng hay một hiệu rồi từ đó phá bớt một lớp căn.

9) Để giải biểu thức \( \sqrt{11 - 2\sqrt{30}} \), chúng ta sẽ cố gắng viết biểu thức bên trong căn thành bình phương của một hiệu. Mục tiêu là tìm hai số \( a \) và \( b \) sao cho:

\[
\sqrt{11 - 2\sqrt{30}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}
\]

Bình phương hai bên, chúng ta có:

\[
11 - 2\sqrt{30} = a + b - 2\sqrt{ab}
\]

Từ đây, ta có hai hệ thức:

1. \( a + b = 11 \)
2. \( -2\sqrt{ab} = -2\sqrt{30} \Rightarrow \sqrt{ab} = \sqrt{30} \Rightarrow ab = 30 \)

Giải hệ phương trình này, ta có:

\( a \) và \( b \) là nghiệm của phương trình bậc 2:

\[
x^2 - 11x + 30 = 0
\]

Áp dụng công thức nghiệm:

\[
x = \frac{11 \pm \sqrt{11^2 - 4 \cdot 30}}{2} = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 120}}{2} = \frac{11 \pm 1}{2}
\]

Vậy có hai nghiệm:

\[
x_1 = \frac{12}{2} = 6, \quad x_2 = \frac{10}{2} = 5
\]

Do đó, \( a = 6 \) và \( b = 5 \), ta có:

\[
\sqrt{11 - 2\sqrt{30}} = \sqrt{6} - \sqrt{5}
\]

10) Giải biểu thức \( \sqrt{21 - 4\sqrt{17}} \). Tương tự như trên, ta viết:

\[
\sqrt{21 - 4\sqrt{17}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}
\]

Bình phương hai bên:

\[
21 - 4\sqrt{17} = a + b - 2\sqrt{ab}
\]

Ta có hệ phương trình:

1. \( a + b = 21 \)
2. \( -2\sqrt{ab} = -4\sqrt{17} \Rightarrow \sqrt{ab} = 2\sqrt{17} \Rightarrow ab = 4 \cdot 17 = 68 \)

Giải hệ phương trình:

\[
x^2 - 21x + 68 = 0
\]

Nghiệm:

\[
x = \frac{21 \pm \sqrt{21^2 - 4 \cdot 68}}{2} = \frac{21 \pm \sqrt{441 - 272}}{2} = \frac{21 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{21 \pm 13}{2}
\]

Ta có hai nghiệm:

\[
x_1 = \frac{34}{2} = 17, \quad x_2 = \frac{8}{2} = 4
\]

Vậy:

\[
\sqrt{21 - 4\sqrt{17}} = \sqrt{17} - 2
\]

11) Giải biểu thức \( \sqrt{11 - 4\sqrt{7}} \). Tương tự, ta viết:

\[
\sqrt{11 - 4\sqrt{7}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}
\]

Bình phương hai bên:

\[
11 - 4\sqrt{7} = a + b - 2\sqrt{ab}
\]

Ta có hệ phương trình:

1. \( a + b = 11 \)
2. \( -2\sqrt{ab} = -4\sqrt{7} \Rightarrow \sqrt{ab} = 2\sqrt{7} \Rightarrow ab = 4 \cdot 7 = 28 \)

Giải phương trình:

\[
x^2 - 11x + 28 = 0
\]

Nghiệm:

\[
x = \frac{11 \pm \sqrt{11^2 - 4 \cdot 28}}{2} = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 112}}{2} = \frac{11 \pm 3}{2}
\]

Ta có hai nghiệm:

\[
x_1 = \frac{14}{2} = 7, \quad x_2 = \frac{8}{2} = 4
\]

Vậy:

\[
\sqrt{11 - 4\sqrt{7}} = \sqrt{7} - 2
\]

12) Giải biểu thức \( \sqrt{11 + 2\sqrt{30}} \). Ta viết:

\[
\sqrt{11 + 2\sqrt{30}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}
\]

Bình phương hai bên:

\[
11 + 2\sqrt{30} = a + b + 2\sqrt{ab}
\]

Hệ phương trình là:

1. \( a + b = 11 \)
2. \( 2\sqrt{ab} = 2\sqrt{30} \Rightarrow \sqrt{ab} = \sqrt{30} \Rightarrow ab = 30 \)

Giải phương trình:

\[
x^2 - 11x + 30 = 0
\]

Nghiệm:

\[
x = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 120}}{2} = \frac{11 \pm 1}{2}
\]

Ta có:

\[
x_1 = 6, \quad x_2 = 5
\]

Vậy:

\[
\sqrt{11 + 2\sqrt{30}} = \sqrt{6} + \sqrt{5}
\]

Tóm lại, các kết quả cuối cùng là:

9) \( \sqrt{6} - \sqrt{5} \)

10) \( \sqrt{17} - 2 \)

11) \( \sqrt{7} - 2 \)

12) \( \sqrt{6} + \sqrt{5} \)