CM : Đa thức f (x) = $(x^{2}$ + x - 1 ) $^{2022}$ + $(x^{2}$ - x + 1 ) $^{2022}$ - 2 chia hết cho g(x) = $x^{2}$ - x

Để chứng minh rằng đa thức f(x) = (x² + x - 1)²⁰²² + (x² - x + 1)²⁰²² - 2 chia hết cho g(x) = x² - x, ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

1. Tính f(0) và f(1): Vì g(x) = x² - x có hai nghiệm là x = 0 và x = 1. Nếu f(x) chia hết cho g(x), thì f(0) và f(1) đều phải bằng 0.

- Tính f(0):
f(0) = (0² + 0 - 1)²⁰²² + (0² - 0 + 1)²⁰²² - 2
= (-1)²⁰²² + 1²⁰²² - 2
= 1 + 1 - 2
= 0.

- Tính f(1):
f(1) = (1² + 1 - 1)²⁰²² + (1² - 1 + 1)²⁰²² - 2
= (1 + 1 - 1)²⁰²² + (1 - 1 + 1)²⁰²² - 2
= 1²⁰²² + 1²⁰²² - 2
= 1 + 1 - 2
= 0.

2. Kết luận: Vì f(0) = 0 và f(1) = 0, điều này chứng tỏ rằng f(x) chia hết cho g(x). Do đó, ta có thể khẳng định rằng g(x) = x² - x là một thể hiện của bội thức của f(x).

Vậy ta đã chứng minh được rằng f(x) chia hết cho g(x).