Một cấp số nhân và một cấp số cộng đều có số hạng thứ nhất bằng 5, số hạng thứ 2 của cấp số cộng lớn hơn số hạng thứ 2 của một cấp số nhân là 10, còn các số hạng thứ 3 thì bằng nhau. Tìm các cấp

Gọi cấp số nhân là \( a_n = 5, 5r, 5r^2, \ldots \) và cấp số cộng là \( b_n = 5, 5 + d, 5 + 2d, \ldots \), trong đó \( r \) là tỷ số của cấp số nhân và \( d \) là độ lớn của cấp số cộng.

Theo đề bài:

1. Số hạng thứ 2 của cấp số cộng lớn hơn số hạng thứ 2 của cấp số nhân là 10:
\[
(5 + d) - (5r) = 10
\]
Sắp xếp lại, ta có:
\[
d - 5r = 10 \quad (1)
\]

2. Số hạng thứ 3 của cả hai cấp số ấy bằng nhau:
\[
5 + 2d = 5r^2 \quad (2)
\]

Từ phương trình (1), ta có:
\[
d = 5r + 10
\]

Thay giá trị của \( d \) vào phương trình (2):
\[
5 + 2(5r + 10) = 5r^2
\]
Điều này trở thành:
\[
5 + 10r + 20 = 5r^2
\]
Sắp xếp lại, ta có:
\[
5r^2 - 10r - 25 = 0
\]
Chia cả hai vế cho 5:
\[
r^2 - 2r - 5 = 0
\]

Giải phương trình bậc 2 bằng công thức:
\[
r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 20}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 1 \pm \sqrt{6}
\]

Lấy nghiệm dương:
\[
r = 1 + \sqrt{6}
\]

Tìm \( d \):
Thay \( r \) vào biểu thức \( d = 5r + 10 \):
\[
d = 5(1 + \sqrt{6}) + 10 = 5 + 5\sqrt{6} + 10 = 15 + 5\sqrt{6}
\]

Cuối cùng, tìm các số hạng của cấp số nhân và cấp số cộng.

Cấp số nhân:
- Số hạng thứ nhất: \( 5 \)
- Số hạng thứ hai: \( 5r = 5(1 + \sqrt{6}) = 5 + 5\sqrt{6} \)
- Số hạng thứ ba: \( 5r^2 = 5(1 + \sqrt{6})^2 = 5(1 + 2\sqrt{6} + 6) = 5(7 + 2\sqrt{6}) = 35 + 10\sqrt{6} \)

Cấp số cộng:
- Số hạng thứ nhất: \( 5 \)
- Số hạng thứ hai: \( 5 + d = 5 + 15 + 5\sqrt{6} = 20 + 5\sqrt{6} \)
- Số hạng thứ ba: \( 5 + 2d = 5 + 2(15 + 5\sqrt{6}) = 5 + 30 + 10\sqrt{6} = 35 + 10\sqrt{6} \)

Kết quả cuối cùng là:
- Cấp số nhân: \( 5, 5 + 5\sqrt{6}, 35 + 10\sqrt{6} \)
- Cấp số cộng: \( 5, 20 + 5\sqrt{6}, 35 + 10\sqrt{6} \)

Các cấp số đã tìm được thỏa mãn các điều kiện của đề bài.