P=9x²+2y²-6xy+6x-6y+2022, tìm giá trị nhỏ nhất

Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm P = 9x² + 2y² - 6xy + 6x - 6y + 2022, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp toán học để phân tích và tìm cực tiểu của hàm này.

Hàm P là một đa thức bậc hai theo hai biến x và y. Để giải quyết bài toán, chúng ta sẽ tìm điểm cực tiểu bằng cách sử dụng phương pháp đạo hàm.

1. Tính đạo hàm riêng theo x và y:

∂P/∂x = 18x - 6y + 6
∂P/∂y = 4y - 6x - 6

2. Đặt các đạo hàm bằng không để tìm các điểm cục bộ:

18x - 6y + 6 = 0 (1)
4y - 6x - 6 = 0 (2)

Từ phương trình (1), ta có thể chuyển đổi thành:
18x - 6y = -6
=> y = 3x + 1 (3)

Thay (3) vào phương trình (2):
4(3x + 1) - 6x - 6 = 0
=> 12x + 4 - 6x - 6 = 0
=> 6x - 2 = 0
=> 6x = 2
=> x = 1/3

Thay x = 1/3 vào (3):
y = 3(1/3) + 1 = 2

Vậy chúng ta có điểm cục bộ (x, y) = (1/3, 2).

3. Tiếp theo, kiểm tra tính chất của điểm cực trị bằng cách tính định thức của ma trận Hessian:

f(x, y) = 9x² + 2y² - 6xy + 6x - 6y
Tính đạo hàm bậc hai:

∂²P/∂x² = 18,
∂²P/∂y² = 4,
∂²P/∂x∂y = -6.

Ma trận Hessian H là:
H = | 18 -6 |
| -6 4 |

Định thức của H là:
det(H) = (18)(4) - (-6)(-6) = 72 - 36 = 36.

Vì det(H) > 0 và ∂²P/∂x² > 0, nên điểm (1/3, 2) là điểm cực tiểu.

4. Cuối cùng, thay (x, y) = (1/3, 2) vào hàm P để tìm giá trị nhỏ nhất:

P(1/3, 2) = 9(1/3)² + 2(2)² - 6(1/3)(2) + 6(1/3) - 6(2) + 2022
= 9(1/9) + 2(4) - 6(2/3) + 2 - 12 + 2022
= 1 + 8 - 4 + 2 - 12 + 2022
= -5 + 2022 = 2017.

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm P là 2017.