Biết 2 số thực a, b thoả mãn phương trình đã cho. Hãy tìm a + b.

Để giải bài toán này, ta cần phân tích giới hạn:

lim (x→∞) (√(x² + ax + 2024) - bx)

Đầu tiên, khi x tiến về vô cùng, phần √(x² + ax + 2024) có thể được viết lại như sau:

√(x²(1 + (a/x) + (2024/x²))) = x√(1 + (a/x) + (2024/x²))

Khi x → ∞, cả (a/x) và (2024/x²) đều tiến về 0, do đó:

√(1 + (a/x) + (2024/x²)) → √1 = 1

Do đó, ta có:

√(x² + ax + 2024) ≈ x

Bây giờ thay vào giới hạn:

lim (x→∞) (√(x² + ax + 2024) - bx) ≈ lim (x→∞) (x - bx) = lim (x→∞) (x(1 - b))

Để giới hạn này có giá trị hữu hạn, 1 - b phải bằng 0, tức là:

b = 1.

Vậy giờ ta có:

lim (x→∞) (√(x² + ax + 2024) - x) = 2.

Vì vậy, ta cần:

lim (x→∞) (√(x² + ax + 2024) - x) = 2

Tức là:

√(x² + ax + 2024) - x = 2

Từ đó, ta có:

√(x² + ax + 2024) = x + 2.

Bình phương 2 phía:

x² + ax + 2024 = (x + 2)²

x² + ax + 2024 = x² + 4x + 4

Chúng ta rút x² ra hai phía thì các bạn sẽ có:

ax + 2024 = 4x + 4.

Giải phương trình này cho x:

(ax - 4x) = 4 - 2024

(a - 4)x = -2020

Bây giờ, để có phương trình này cho mọi x khác không, ta cần:

a - 4 = 0 → a = 4.

Cuối cùng, chúng ta có a = 4 và b = 1. Do đó:

a + b = 4 + 1 = 5.

Kết quả cuối cùng:

a + b = 5.