Câu 1 : Cho bốn điểm `A , B , C , D` không đồng phẳng . Gọi `M , N` lần lượt là trung điểm của `AC` và `BC` . Trên đoạn `BD` lấy điểm `P` sao cho `BP = 2PD` . Giao điểm của đường thẳng `CD` và

Để giải bài toán này, trước tiên chúng ta cần hình dung các điểm và mặt phẳng được đề cập.

1. Tạo các điểm và trung điểm:
- Giả sử A, B, C, D là bốn điểm không đồng phẳng trong không gian 3D.
- M là trung điểm của AC, có tọa độ M = (A + C)/2.
- N là trung điểm của BC, có tọa độ N = (B + C)/2.

2. Điểm P trên đoạn BD:
- Điểm P được chọn sao cho BP = 2PD. Điều này có nghĩa là P chia đoạn BD thành 1/3 và 2/3. Có thể tính được vị trí của P bằng cách sử dụng tỉ lệ, tức là:
P = (2D + B) / 3, vì điểm P cách B là 2 phần và cách D là 1 phần trong tỉ lệ 2:1.

3. Mặt phẳng (MNP):
- Mặt phẳng (MNP) được xác định bởi ba điểm M, N và P.

4. Tìm giao điểm của CD và MP:
- Ta cần xem xét đường thẳng CD và mặt phẳng MNP.
- Để tìm giao điểm của đường thẳng CD với mặt phẳng (MNP), ta phân tích các phương trình.
- Đường thẳng CD có thể được mô tả bằng phương trình parametric với tham số t.
- Mặt phẳng MNP có thể được mô tả bằng phương trình bằng cách sử dụng các vector pháp tuyến và tọa độ của M, N, P.

5. Kiểm tra các tùy chọn đáp án:
- A: CD và NP không đảm bảo liên kết đến điểm M hoặc N.
- B: CD và MN chỉ cho một mặt phẳng chứa cả hai điểm nhưng không chắn chắn cắt.
- C: CD và MP, có thể giao nhau tại một điểm, tuy nhiên cần kiểm tra độ dài.
- D: CD và AP có thể cắt nhau, nhưng không chắc chắn.

6. Kết luận:
- Trong trường hợp này, giao điểm của CD với mặt phẳng (MNP) sẽ là đoạn dòng từ CD tới mặt phẳng (dùng nghị lý không gian của các điểm và kiểm tra chiều cao giao cắt).

Với các phân tích trên, câu trả lời chính xác là C: CD và MP. Bởi vì mặt phẳng (MNP) được hình thành từ các điểm M, N và P, trong đó P nằm trên đoạn BD.