Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC). Gọi O là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia OA lấy N sao cho O là trung điểm của AN a) Chứng minh tứ giác ABNC là hình chữ nhật b) Trên tia đối CN lấy D sao cho

a) Để chứng minh tứ giác ABNC là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng nó có 2 cặp cạnh song song và 2 góc vuông.

1. Trong tam giác vuông ABC, điểm O là trung điểm của BC. Do đó, ta có:

- BO = OC

2. Theo định nghĩa, điểm N được lựa chọn sao cho O là trung điểm của AN, tức là:

- AO = ON

3. Từ đó, ta có các cặp cạnh:

- AB và CN: Nhìn vào tam giác vuông ABC, AB vuông góc với AC, nên CN sẽ vuông góc với OA (vì OA và AC nằm trên cùng một đường thẳng). Với điều này, ta có góc ABC = 90 độ.

4. Với 2 cặp cạnh song song (AB và CN) và (AC và BN):

- Bằng cách chứng minh góc ABN = góc ANC = 90 độ, điều này cho thấy ABNC có 2 góc vuông.

Từ đó, ta khẳng định tứ giác ABNC là hình chữ nhật.

b) Để chứng minh tứ giác ABCD là hình chữ nhật, ta thực hiện các bước sau:

1. Tương tự như trên, D được chọn sao cho C là trung điểm của DN. Tức là:

- CN = CD

2. Xét tứ giác ABCD, ta cần chứng minh 2 cặp cạnh song song và các góc vuông.

3. Ta đã chứng minh rằng ABNC là hình chữ nhật, điều này cho thấy:

- AN và BC song song

4. Xét góc ABC = 90 độ. Do đó, góc DCB cũng sẽ là 90 độ (bởi 2 đường thẳng song song cắt nhau bởi đường thẳng BC).

5. Cuối cùng, từ việc N là trung điểm của AC và D là trung điểm của CN, ta có:

- AD = BC = AC (sử dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông ABC).

Từ tất cả các chứng minh trên, ta có thể kết luận rằng tứ giác ABCD là hình chữ nhật.