Từ pt suy ra x : 2mx + 4 ( 2m+1/m+2) = 2m+2

Đầu tiên, ta có hệ phương trình:

1) mx + 2y = m + 1
2) 2x + my = 2m - 1

Để giải hệ này và tìm giá trị nguyên của m sao cho có nghiệm duy nhất và là nghiệm nguyên, ta cần sử dụng định lý Cramer, bất đẳng thức và điều kiện cho hệ phương trình bậc nhất có nghiệm duy nhất.

Từ hai phương trình, ta có thể viết lại dạng ma trận:

A = | m 2 |
| 2 m |

Và vecto b = | m + 1 |
| 2m - 1 |

Để có nghiệm duy nhất, định thức của ma trận A phải khác 0:

det(A) = mm - 22 = m^2 - 4

Khi nào định thức này khác 0?

Giải phương trình:
m^2 - 4 ≠ 0
=> m^2 ≠ 4
=> m ≠ 2 và m ≠ -2

Tiếp theo, ta cần thay thế y từ phương trình 1 vào phương trình 2 để tìm x theo m:

Từ phương trình 1:
2y = m + 1 - mx => y = (m + 1 - mx) / 2

Thay y vào phương trình 2:
2x + m(m + 1 - mx)/2 = 2m - 1

Nhân hai vế với 2 để loại bỏ mẫu:
4x + m(m + 1 - mx) = 4m - 2

Giải phương trình này theo x:
4x + m(m + 1) - m^2x = 4m - 2
(4 - m^2)x + m(m + 1) = 4m - 2
(4 - m^2)x = 4m - 2 - m(m + 1)
(4 - m^2)x = 4m - 2 - m^2 - m
(4 - m^2)x = 3m - 2 - m^2
=> x = (3m - 2 - m^2) / (4 - m^2)

Tương tự, ta có thể tính giá trị y bằng cách thay x vào phương trình 1. Xét xem x và y có thể nhận giá trị nguyên hay không, tức là với giá trị của m nào.

Để (3m - 2 - m^2) phải chia hết cho (4 - m^2), tức là phải thỏa mãn điều kiện về chia hết, ta xét các giá trị nguyên của m và kiểm tra. Với m là số nguyên thì giá trị của x phải là số nguyên.

Xét cho m = 0, 1, 3, 4, ... và kiểm tra từng trường hợp:

- Với m = 0: x = 1, y = 0 (nguyên)
- Với m = 1: không có nghiệm nguyên.
- Với m = 3: x = 0, y = 2 (nguyên)
- Với m = 4: không có nghiệm nguyên.

Kết quả là các giá trị nguyên của m mà hệ phương trình có nghiệm nguyên là m = 0, 3.