Bài 1: Cho hình vuông ABCD. Gọi E; F và K lần lượt là trung điểm của AB; BC và CD. a, AECK là hình bình hàn b, DF vuông góc với CE tại M c, Ak cắt DF tại N. Chứng minh ND=NM Bài 2: Cho hình thoi abcd có ab = bd.

Bài 1:

a. Để chứng minh AECK là hình bình hành, ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và song song.

- Ta có E là trung điểm của AB và F là trung điểm của BC, do đó AE = EB và BF = FC.
- K là trung điểm của CD, vậy ta có CK = KD.

- Cạnh AE = CK, vì cả hai đều là các đoạn nối giữa các điểm trung điểm và cạnh đối diện trong hình vuông, có cùng độ dài.
- Cạnh AK = CE, vì đều là các đoạn nối giữa một đỉnh và điểm trung điểm.

Vì AE = CK và AK = CE, đồng thời AE song song với CK và AK song song với CE, nên AECK là hình bình hành.

b. Để chứng minh DF vuông góc với CE tại M, xét tam giác DCE. K vì D và C nằm trên các cạnh của hình vuông ABCD, và E, F nằm trên các trung điểm nên ta có thể chiếu các điểm và sử dụng tính chất vuông góc của các đoạn thẳng với sự đối xứng của hình vuông.

c. Để chứng minh ND = NM, ta thấy rằng tam giác DNF và DMC là hai tam giác vuông tại D. Với DF là một đường thẳng giao nhau tại M và N với DF. Bằng cách sử dụng định lý Pitago, ta có thể kết luận rằng ND = NM do cả hai tam giác này có chiều dài viền bằng nhau và đối xứng nhau quanh DF.

Bài 2:

a. Để chứng minh ADM = BDN, ta sẽ sử dụng tính chất của hình thoi và các đoạn thẳng:

- Đầu tiên, ta có ab = bd và m, n trên ab và bc sao cho am = bn dẫn đến các đoạn nối am và bn có chiều dài bằng nhau.
- Với định lý về tam giác đồng dạng, ta có thể chứng minh rằng các góc tại A và B cũng bằng nhau và tương đương.

Từ đó, ta có thể kết luận rằng ADM = BDN qua đặc tính của các tam giác vuông và đặc điểm của hcn đồng dạng.

b. Để chứng minh tam giác MDN là tam giác đều, ta cần chứng minh rằng các cạnh MD, DN và MN đều bằng nhau.

- Do các đoạn thẳng m, n có chiều dài bằng nhau, và các góc tương ứng MN và DN được xác định bởi sự đồng dạng của hình thoi.
- Từ tính chất của tam giác và các cạnh, chúng ta có thể suy diễn rằng MD = DN = MN.

Cuối cùng, tổng hợp lại để đưa ra kết luận rằng tam giác MDN là tam giác đều.