Cho tam giác ABC thỏa mãn sin²A=sin²B+sin²C. Chứng minh rằng tam giâc ABC vuông

Bài toán yêu cầu chứng minh tam giác ABC vuông, biết rằng sin²A = sin²B + sin²C.

Đầu tiên, ta có định lý về sin trong tam giác như sau: sin²A + sin²B + sin²C = 1.

Bắt đầu từ phương trình đã cho:

sin²A = sin²B + sin²C

Ta có thể thay sin²C bằng 1 - sin²A - sin²B từ định lý trên, để có:

sin²A = sin²B + (1 - sin²A - sin²B)

Điều này biến đổi thành:

sin²A = 1 - sin²A

Khi ta đưa cả hai sin²A về cùng một phía, ta có:

2sin²A = 1

Vậy suy ra:

sin²A = 1/2

Từ đó, ta có:

sinA = ±√(1/2) = ±1/√2

Tuy nhiên, vì A là một góc trong tam giác và nằm trong khoảng từ 0 đến π (hoặc 0 đến 180 độ), nên sinA = 1/√2.

Điều này chỉ xảy ra khi góc A = 45 độ. Dựa vào định lý sin trong tam giác, ta biết rằng nếu A = 45 độ, thì tổng góc còn lại B + C = 90 độ. Nếu tổng hai góc còn lại là 90 độ, thì theo định lý về góc trong tam giác.

Do đó, kết luận rằng tam giác ABC vuông tại A, hoặc có thể nói rằng nó vuông tại bất kỳ góc nào mà sinA = 1/√2.

Như vậy, ta đã chứng minh rằng tam giác ABC vuông.