Cíu tui nguyên hàm vs mn ơi

7. Để tính nguyên hàm của \( (2x - 3)^5 \), ta sử dụng phương pháp nguyên hàm theo quy tắc chuỗi. Gọi \( u = 2x - 3 \), thì \( du = 2dx \) hay \( dx = \frac{du}{2} \). Khi đó, tích phân trở thành:

\[
\int (2x - 3)^5 dx = \int u^5 \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^6}{6} + C = \frac{(2x - 3)^6}{12} + C.
\]

8. Để giải quyết tích phân \( \int \frac{x}{x^2 + 1} dx \), ta thực hiện phân tích. Thực hiện phép chia:

\[
\frac{x}{x^2 + 1} = \frac{1}{2} \frac{d(x^2 + 1)}{dx}.
\]

Do đó,

\[
\int \frac{x}{x^2 + 1} dx = \frac{1}{2} \ln |x^2 + 1| + C.
\]

9. Tích phân \( \int \frac{2x - 3}{x^2 - 3x + 1} dx \) có thể giải bằng phương pháp phân tích từng phần hoặc dùng nguyên hàm vi phân. Chúng ta sẽ lần lượt tính:

Sử dụng phân tích phân số:

Áp dụng phần chia, tìm nguyên hàm từng phần.

Sau đó, nếu nguyên hàm được quá phức tạp, ta sử dụng các phương pháp như làm trơn hoặc bù trừ hằng số.

10. Để tính \( \int (x + 1) \cdot 5x^2 + 2x^{-1} dx \), ta phân tích thành từng phần:

\[
\int 5(x+1)x^2 dx + \int 2x^{-1} dx.
\]

Tính nguyên hàm từng phần:

- \( \int 5(x^3 + x^2) dx = \frac{5}{4}(x^4 + \frac{x^3}{3}) + C \)

- \( \int 2x^{-1} dx = 2\ln|x| + C\).

Cuối cùng, tổng hợp lại thành:

\[
\frac{5}{4} (x^4 + \frac{x^3}{3}) + 2 \ln|x| + C.
\]

11. Đối với tích phân \( \int \sin(ax + b) \cos^2(ax + b) dx \), ta có thể dùng định nghĩa của sin và cos, hoặc quy tắc tích phân. Sử dụng công thức:

\[
\cos^2 u = \frac{1 + \cos(2u)}{2}.
\]

Vì vậy tích phân có thể trở thành:

\[
\int \sin(ax + b) \left(\frac{1 + \cos(2(ax + b))}{2}\right) dx.
\]

Tính từ đây:

- Tích phân \( \int \sin(ax + b) dx \) là \(-\frac{1}{a} \cos(ax + b) + C\).
- Tích phần còn lại được tính tương tự.

Cuối cùng tổng hợp các kết quả.

12. Đối với tích phân \( \int x^2 \sqrt{x^3 + 1} dx \), chúng ta có thể thực hiện phương pháp thay thế:

Giả sử \( u = x^3 + 1 \), sau đó thì \( du = 3x^2 dx \) hay là \( dx = \frac{du}{3x^2} \).

Các biến sẽ chuyển sang dễ giải hơn, và cuối cùng sau khi thực hiện tích phân, hãy đưa mọi thứ về \( u \). Khi đã có, tổng hợp các tham số để đưa về dạng x sẽ cho ra kết quả cuối cùng.

Mỗi một tích phân đều có cách làm riêng, quan trọng là hiểu rõ về nguyên tắc thay đổi biến và quy tắc phân tích để có thể tìm được nguyên hàm một cách chính xác.