tính tổng S=1+1/2^3+1/2^5+1/2^7+…+1/2^99+1/2^101.

Để tính tổng S = 1 + 1/2^3 + 1/2^5 + 1/2^7 + ... + 1/2^99 + 1/2^101, chúng ta cần nhận biết rằng dãy số trong tổng này là một dãy có cách lấy số hạng rất đặc biệt.

Trước hết, hãy chú ý rằng các số mũ trong các số hạng của tổng S là các số lẻ bắt đầu từ 0 đến 101. Chúng ta sẽ viết lại tổng S để dễ nhìn hơn:

S = 1 + (1/2^3) + (1/2^5) + (1/2^7) + ... + (1/2^99) + (1/2^101) = \(\sum_{k=0}^{50} \frac{1}{2^{2k + 1}}\)

đối với \(k\) từ 0 đến 50, vì các số mũ 3, 5, 7, ..., 101 tương ứng với k lấy giá trị từ 1 đến 50 (tức là 2k+1).

Bây giờ, biểu thức trở thành:

S = 1 + \(\sum_{k=1}^{50} \frac{1}{2^{2k + 1}}\)

Công thức tổng quát cho tổng của một cấp số cộng (CSP) là:

\(\sum_{k=0}^{n} ar^k = a \frac{1 - r^{n+1}}{1 - r}\)

Trong trường hợp này, \(a = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}\) và \(r = \frac{1}{4}\) (bởi vì biến đổi số mũ trong phân số cho thấy tỷ lệ tỉ lệ là 1/4).

Với \(n = 49\) (từ 1 đến 50 có 50 số hạng), ta có:

Tổng các thành phần từ k=1 đến 50:

\(\sum_{k=1}^{50} \frac{1}{2^{2k + 1}} = \frac{1}{2^3} \frac{1 - (\frac{1}{4})^{50}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{8} \frac{1 - \frac{1}{4^{50}}}{\frac{3}{4}} = \frac{1}{8} \cdot \frac{4}{3} (1 - \frac{1}{4^{50}})\)

Tính kết quả:

= \(\frac{1}{6} \left( 1 - \frac{1}{4^{50}} \right)\)

Bây giờ, đã tính xong phần trong tổng S, kể cả số 1 từ đầu:

S = 1 + \(\frac{1}{6} \left( 1 - \frac{1}{4^{50}} \right)\)

Cuối cùng, bạn cần cộng lại:

S = \(1 + \frac{1}{6} - \frac{1}{6 \cdot 4^{50}}\)

S = \(\frac{6}{6} + \frac{1}{6} - \frac{1}{6 \cdot 4^{50}}\)

S = \(\frac{7}{6} - \frac{1}{6 \cdot 4^{50}}\)

Vì \(\frac{1}{6 \cdot 4^{50}}\) là một số rất nhỏ, ta có thể nói rằng tổng S gần với \(\frac{7}{6}\). Do đó, tổng S = \(\frac{7}{6} - \frac{1}{6 \cdot 4^{50}}\).