Cho 2 số nguyên x,y thỏa mãn x^2+y^2 chia hết cho 12.Chứng minh rằng x và y đều chia hết cho 6.

Giả sử \( x^2 + y^2 \) chia hết cho 12, tức là \( x^2 + y^2 \equiv 0 \mod{12} \). Để chứng minh rằng cả \( x \) và \( y \) đều chia hết cho 6, ta sẽ xem xét các trường hợp có thể của \( x \) và \( y \) theo modulo 4 và modulo 3.

Bước 1: Xét modulo 4

Các giá trị bình phương của một số nguyên modulo 4 có thể là:

- Nếu \( x \equiv 0 \mod{4} \), thì \( x^2 \equiv 0 \mod{4} \).
- Nếu \( x \equiv 1 \mod{4} \), thì \( x^2 \equiv 1 \mod{4} \).
- Nếu \( x \equiv 2 \mod{4} \), thì \( x^2 \equiv 0 \mod{4} \) (vì \( 2^2 = 4 \)).
- Nếu \( x \equiv 3 \mod{4} \), thì \( x^2 \equiv 1 \mod{4} \).

Vậy nên ta có các trường hợp:

- \( x^2 + y^2 \equiv 0 + 0 \equiv 0 \mod{4} \)
- \( x^2 + y^2 \equiv 1 + 1 \equiv 2 \mod{4} \)
- \( x^2 + y^2 \equiv 0 + 1 \equiv 1 \mod{4} \)
- \( x^2 + y^2 \equiv 1 + 0 \equiv 1 \mod{4} \)

Để thỏa mãn \( x^2 + y^2 \equiv 0 \mod{4} \), ta chỉ có thể có trường hợp:

- \( x \equiv 0 \mod{4} \) và \( y \equiv 0 \mod{4} \).

Bước 2: Xét modulo 3

Các giá trị bình phương theo modulo 3 cũng có thể là:

- Nếu \( x \equiv 0 \mod{3} \), thì \( x^2 \equiv 0 \mod{3} \).
- Nếu \( x \equiv 1 \mod{3} \), thì \( x^2 \equiv 1 \mod{3} \).
- Nếu \( x \equiv 2 \mod{3} \), thì \( x^2 \equiv 1 \mod{3} \) (vì \( 2^2 = 4 \equiv 1 \mod{3} \)).

Vậy nên ta có các trường hợp:

- \( x^2 + y^2 \equiv 0 + 0 \equiv 0 \mod{3} \)
- \( x^2 + y^2 \equiv 1 + 1 \equiv 2 \mod{3} \)
- \( x^2 + y^2 \equiv 0 + 1 \equiv 1 \mod{3} \)
- \( x^2 + y^2 \equiv 1 + 0 \equiv 1 \mod{3} \)

Để có thể thỏa mãn \( x^2 + y^2 \equiv 0 \mod{3} \), ta cần có:

- \( x \equiv 0 \mod{3} \) và \( y \equiv 0 \mod{3} \).

Kết luận:

Từ hai kết quả trên, ta có:

- \( x \equiv 0 \mod{4} \) và \( x \equiv 0 \mod{3} \).
- \( y \equiv 0 \mod{4} \) và \( y \equiv 0 \mod{3} \).

Do đó, theo định lý Trung Bình, \( x \equiv 0 \mod{12} \) và \( y \equiv 0 \mod{12} \). Điều này chứng tỏ rằng cả \( x \) và \( y \) đều chia hết cho 6.